§311香烟过滤嘴的作用问题

3.11香烟过滤嘴的作用问题1）问题的提出普遍认为香烟过滤嘴的作用可使吸烟者对尼古丁和烟焦油等毒物的吸收率减少，肺癌死亡率下降。这有何根据呢？本节从定量的角度介绍一个模型，描述烟雾通过香烟的过程，分析人体吸入毒物的数量与哪些因素相关，说明过滤嘴的作用与使用的材料和过滤嘴的长度之间的关系。2）模型机理假设毒物均匀地分布在香烟中，吸烟时点燃处的烟草化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分0q直接进入空气，另一部分q沿着香烟穿行。在穿行过程中，q又有一部分被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的部分进入人体。qq:0的数量比例随吸烟的方式、环境等多种因素的变化而不同。烟雾沿香烟穿行的速度v随着吸烟动作变化也不断地变化。为了建立模型，我们希望避开这个复杂的过程。为此，设想吸烟者是架机器，吸烟的动作、方式及外部环境在整个吸烟过程中不变，于是可以认为毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例qq:0、烟雾穿行的速度v、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。香烟燃烧速度u与v相比，可认为燃点处于静止状态。下面用数学语言来描述。3）模型假设1．点燃处毒物随烟雾进入空气部分0q和沿香烟穿行部分q的数量比例是)10(,:)1(:0aaaqq；2．烟雾沿着香烟穿行的速度v和香烟燃烧速度u都是常数。且uv；3．未点燃的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别为常数b和；4．香烟总长为l，烟草部分长1l，则过滤嘴长为1ll。整支香烟所含毒物总量M均匀分布在长1l的烟草当中。于是毒物的平均密度10lMw；5．坐标系如图3-19所示。设0t时刻，在0x处点燃香烟，则在ulT1时整支香烟燃尽。图3-190)0(x香烟点燃状态4）模型建立首先定义几个基本函数：毒物流量),(txq：在燃烧过程中的时刻)0(tt，单位时间内通过香烟截面)0(lxx处的毒物量。烟草毒物密度),(txw：在燃烧过程中的时刻)0(tt，截面)0(1lxx处单位长度烟草中的毒物含量。烟雾毒物密度),(tx：在燃烧过程中的时刻)0(tt，截面)0(1lxx处单位长度烟雾内毒物的含量。则),(),(txvtxq。下面分三个阶段进行建模讨论1．确定0t瞬间，单位时间内通过x处的毒物量)0,(xq。由假设2中关于uv的假定，可以认为燃点0x静止不动。为简单起见，记)()0,(xqxq，)()0,(xx。在],[xxx这一段香烟中，毒物通过x和xx的流量之差为)()(xxqxq，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未燃烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，即xxxdxxb)(或xxxdxx)(。因此我们有xx1xx1,)(0,)()()(xxlxldxxlxdxxbxxqxq，即xx1xx1,)(0,)())()((xxlxldxxlxdxxbxxxv。假设)(x可导，令0x，将上式两边分别求导：lxlxvlxxvbdxd11)(0)(。再设燃点0x处在单位时间内放出的毒物量为H。由假设1知aHq)0(，从而vaH)0(。这时，我们构成vaHxvbdxd)0()(，解之，得)0()exp()(1lxvbxvaHx。根据)(x在1l处的连续性，可知)exp()(11vblvaHl，因而构成)exp()()(11vblvaHlxvdxd，解得)()(exp)(11lxlvxlbvaHx，即)()(exp)0(exp)(111lxlvxlbvaHlxvbxvaHx。当lx时，))(exp()()(1vllbHalvlq。2．确定香烟在燃烧过程中任意0t时刻，单位时间内通过lx处的毒物流量),(tlq。由假设2知u为常数，则t时刻香烟燃至utx处。这时，将第1步中的)(xq、)(x、H分别改记为),(txq、),(tx、)(tH，其中)(tH表示t时刻点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量。根据与第1步完全类似的推导，只需将第1步中的)(x的表达式中的x、1l和H分别替换为utx、utl1和)(tH，即得)()(exp)()0()(exp)(),(111lxlvxbutlbvtaHlxvutxbvtaHtx。由上式直接得出)exp()(11vbutllbltHatlq）（）（，。下面首先确定)(tH：设0t时刻utx处，单位时间内燃烧的长度u，又烟草内毒物数量)(tH的密度为),(txw，故),()(tutwutH。综合上述q、、H三式，得)0())(exp()(1lxvutxbtutwvautx），（，））（（），（），（vbutllbltutauwtlq11exp。现在的任务是确定),(tutw：由假设4记0)0,(wxw。随着t的增长，未点燃的烟草在吸烟过程中不断地吸收烟雾中的毒物，致使),(tutw上升，根据守恒定律其增量应该等于单位长度烟雾中的毒物被未点燃的烟草吸收的部分。即在],[ttt时间内，ttxbtxwttxw),(),(),(，令0t，得)0(),(1lxtxbtw将),(tx的表达式代入，推得0)0,(expwxwvutxbtutwvabutw））（（），（对上式从0到t积分：dtvbuttutwvbxvabuwtxwt00expexp）（），（）（），（以utx代入并两端同乘)exp(vbut，得dtvbuttutwvabuvbutwvbuttutwt00expexpexp）（），（）（）（），（记）（），（）（vbuttutwtfexp,则上式为dttfvabuvbutwtft00exp）（）（）（两端同时对t求导，并注意到0t时00wf）（，从而得到关于）（tf的微分方程000expwfvbutvbuwtfvabutf）（）（）（）（，解之，得））（（）（）（vbutaavbutawtf1exp1exp10。结合）（tf的原始表达式，这等价于））（（），（vbutaaawtutw1exp110。于是））（（），（）（vbutaaauwtutuwtH1exp110，））（（））（（），（vbutllblvbutaaaauwtlq110exp1exp11）（）（））（（vabutavbutvllblaauwexpexpexp1110。3．确定抽完整支香烟时通过lx处的毒物总量Q。抽完整支香烟的时间ult1。应用积分的方法，易知uldttlqQ10），（uldtvabutavbutvllblaauw10110]exp[expexp1）（）（））（（]1exp1[exp1110））（（））（（）（vblavllbavaw回顾10lMw，代入上式，得]1exp1[exp1111））（（））（（）（vblavllblaaMvQ。5）模型分析根据假设1、4可知，烟雾沿烟草穿行的毒物总量为aM，过滤嘴长度为1ll。下面我们从几个不同的角度分析Q与、b、1l、l等因素的关系。1．注意到Q的表达式中））（（vll1exp是使Q下降的因子。因此，提高值，或加大1ll都能够对Q起到负指数衰减的效果，并且和1ll在数量上增加一定比例时所起的作用相同。这体现了香烟过滤嘴减少毒物进入人体的作用。另外，降低穿行速度v也可减少Q。2．记1bly，va1，则在Q表达式中的）（））（（yfyevblablay1]1exp1[111。当y时，0）（yf，从而0Q。所以，提高烟草吸收率b，或加长1l也有助于减少Q。但与和1ll对Q所起的负指数衰减作用相比，增加b和1l的效果要小得多。3．当v时，因子1exp1））（（vll，1]1exp1[1））（（vblav，由此推出aMQ。即烟雾穿行的速度v过大时，香烟过滤嘴失去作用。因此，奉劝抽烟者切勿猛力抽吸。4．为了更清楚地对过滤嘴的有效性作出评估，我们比较两支香烟，一支是上述模型讨论的，另外一支没有过滤嘴，香烟总长仍为l，但只吸到1l处即扔掉，参数0w、b、a、v与第一支相同。吸第一支和第二支烟进入人体的毒物量分别记作1Q和2Q，1Q当然如同上面的Q的表达式，2Q也不必重新计算，只需把第二支烟设想成过滤嘴的吸收率与烟草吸收率相同为b的假过滤嘴香烟即可，这样由Q的表达式可直接写出1Q]1exp1[exp1110））（（））（（）（vblavllbavaw和2Q]1exp1[exp1110））（（））（（）（vblavllbbavaw，两式相比，我们得到）））（（（vllbQQ121exp。可见，若b，则21QQ；若b，则21QQ。因此，要做到比不装过滤嘴有更好的效果，那么过滤嘴对毒物的吸收必须比烟草更为有效。我们还可以看到，如果过滤嘴的长度1ll不变，那么比值21QQ随吸收率b的增加成指数下降。再进一步，如果吸收率b不变，则比值21QQ随过滤嘴的长度1ll的增加也成指数下降。由于提高b必须研制新材料，难度较大，所以一般都会建议采用增长过滤嘴的办法，它可达到同样的效果有较易办到。5．设了过滤嘴，或加长1ll又会带来另一番恶果。根据调查统计，过滤嘴香烟减少有害物质，但是，吸烟者在吸烟时，需要花费更大的劲抽吸，并且增加抽吸抽吸的次数。所以，参照3的分析，在一定程度上抵消了过滤嘴的作用，甚至有可能增加有害物质的吸入。此外，由于过滤嘴的卷烟纸较一般烟纸厚，阻碍了香烟燃烧时的氧化作用，增加吸烟的阻力。因此，吸烟者吸入一氧化碳（CO）的量增加。而一氧化碳（CO）可导致冠心病。6）模型点评这个模型在基本合理的简化假设下，运用精确的数学工具解决了一个粗看起来不易下手的实际问题。从提出假设，到运用物理学上的守恒定律建立微分方程，从而构造出模型，最后到结果的分析，整个过程可以说是用建模方法解决实际问题的一个范例。