2012年高三数学一轮复习资料第八章-平面向量第2讲-平面向量的基本定理与坐标表示

-1-第2讲平面向量的基本定理与坐标表示★知识梳理★1．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e特别提醒：(1)我们把不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一奎屯王新敞新疆λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量_i、j作为基底奎屯王新敞新疆任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj…………○1，我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)axy…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示奎屯王新敞新疆与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(yx奎屯王新敞新疆特别地，(1,0)i，(0,1)j，0(0,0)奎屯王新敞新疆特别提醒：设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标奎屯王新敞新疆因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示奎屯王新敞新疆3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)axy，22(,)bxy，则ab=1212(,)xxyy，ab=1212(,)xxyy-2-BCAOMD两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差奎屯王新敞新疆（2）若),(11yxA，),(22yxB，则AB2121,xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标奎屯王新敞新疆（3）若(,)axy和实数，则a(,)xy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标奎屯王新敞新疆4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)其中baa∥b(b0)的充要条件是12210xyxy★重难点突破★1.重点：（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.3.重难点：（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种问题1：和a=(3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量就是51a，即(35，－45)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是51a，即(35，－45)或(－35，45)★热点考点题型探析★考点一：平面向量基本定理题型1.利用一组基底表示平面内的任一向量[例1]在△OAB中，OBODOAOC21,41，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，用a,b表示OM.[解题思路]：若21,ee是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用21,ee线性表示.本例中向量a,b可作基底,故可设OM=ma+nb,为-3-ABCQRP求实数m,n,需利用向量AM与AD共线,向量CM与CB共线,建立关于m,n的两个方程.解析：设OM=ma+nb，则(1)AMmanb,12ADab∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，∴5.011nm，∴m+2n=1.①而CMOMOC1()4manb，14CBab∵C、M、B共线，∴CM与CB共线，∴14141nm，∴4m+n=1.②联立①②解得:m=71，n=73，∴1377OMab[例2]已知P是ABC所在平面内一点,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为S.证明:只有唯一的一点P使得S与P重合.[解题思路]：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量AP可用一组基底唯一表示.解析：[证明]设,ABaACb，则111()[()]222ASARACABAQAC111428ABACAP,由题设知:ASAP711842APABAC2477APab由于a,b是确定的向量，所以AP是唯一的一个向量，即ABC所在平面内只有唯一的一点P使得S与P重合.【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平-4-BACPNM行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。【新题导练】1．若已知1e、2e是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．1e与—2eB．31e与22eC．1e＋2e与1e—2eD．1e与21e答案：D2．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN与CM交于点P,且,ACABab,试用,ab表示AP.解：∵AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4,，∴1133AMABa，1144ANACb，∵M、P、C三点共线，故可设MPtMC，t∈R,于是，1111()()33333tAPAMMPatMCatbaatb……①同理可设设NPsNB，s∈R,1()44sAPANNPbsa．…②由①②得11()()b03344tssat，由此解得112,113ts，∴321111APab．考点二:平面向量的坐标表示与运算题型1:向量加、减、数乘的坐标运算[例3]已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且CACM3,CBCN2,求点M、N的坐标及向量MN的坐标.[解题思路]：利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解析：∵A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）∴)3,6(),8,1(CBCA∴CACM3=3（1，8）=（3，24），CBCN2=2（6，3）=（12，6）设),(yxM，则)4,3(yxCM因此24433yx得200yx，∴)20,0(M同理可得)2,9(N，∴MN=（9—0，2—20）=（9，—18）【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式。【新题导练】-5-3．若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则AB2BC=答案：(-3,-3)解：AB2BC=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)4．若M(3,-2)N(-5,-1)且21MPMN,求P点的坐标；解：设P(x,y)则(x-3,y+2)=21(-8,1)=(-4,21)21243yx∴231yx∴P点坐标为(-1,-23)考点三:向量平行的充要条件题型1:平行、共线问题[例4]（广东省高明一中2009届高三月考）已知向量(1sin,1)a，1(,1sin)2b，若a∥b，则锐角等于（）A．30B．45C．60D．75[解题思路]：已知a、b的坐标，当求a//b时，运用两向量平行的充要条件x1y2－x2y1=0可求sin值．解析：B解：1(1sin)(1sin)102，故选B【名师指引】数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到．【新题导练】5．若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，求x解：∵a=(-1,x)与b=(-x,2)共线∴(-1)×2-x•(-x)=0∴x=±2∵a与b方向相同∴x=26．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及ABtOAOP，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。解：(1)ABtOAOP=(1+3t,2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0，∴32t；若P-6-在y轴上，只需1+3t=0，∴31t；若P在第二象限，只需032031tt∴3132t(2)∵)3t-3,33(PB),2,1(tOA若OABP为平行四边形，则PBOA由于233133tt无解，故四边形OABP不能构成平行四边形。★抢分频道★基础巩固训练1.（广东省惠州市2009届高三第二次调研考试）设平面向量3,5,2,1ab，则2ab（）A．6,3B．7,3C．2,1D．7,2答案：B解析：2ab3,522,17,32.（广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理））在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD()A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc答案：A解析：由2ADABACAD，322ADABACcb，1233ADcb3．已知a=（1，2），b=（－3，2），当ka+b与a－3b平行，k为何值（）A14B－14C－31D31答案：C解析：由已知a=（1，2），b=（－3，2），得a－3b=（10，－4），ka＋b=（k－3，2k＋2）．因（ka＋b）∥（a－3b），故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．得k=－31．4．（广东省黄岐高级中学2009届高三月考）如图,线段AB与CD互相平分,则BD可以表示为()A.ABCDB.1122ABCDDCBA-7-PCABQPMNCABQC.1()2ABCDD.()ABCD答案：B线段AB与CD互相平分，所以BD=1()2CDAB5．如图，设P、Q为△ABC内的两点，且2155APABAC，AQ＝23AB＋14AC，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A．15B．45C．14D．13答案：B[解析]如图,设25AMAB,15ANAC则APAMAN由平行四边形法则知NP∥AB，所以ABPANABCAC=15，同理可得14ABQABC。故45ABPABQ,即选B.6．（2009年广东省广州市高三年级调研测试数学（理科））如图，在△ABC中，已知2AB，3BC，60ABC，AHBC于H，M为AH的中点，若AMABBC，则.答案：23解析：2AB，3BC，60ABC所以BH=1，M为AH的中点，所以12AMAH11111()()22326ABBHABBCABBC23综合拔高训练7．（广东省深圳外国语学校2009届高三统测（数学理））已知向量(1sin)a，，(13cos)b，，则ab的最大值为．ABCHM-8-答案：2解析：sin3cosab＝2sin()23.8．(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知向量(2,2),(5,)abk，若ab不超过5，则k的取值范围是．答案：[-6，2]解析：ab=2|(3,2)|9(2)5kk解得k的取值范围是[-6，2]9．已知)2,3(),2,1(ba,当实数k取何值时,ka＋2b与2a—4b平行？【解析】方法一:∵2a—4b0,∴存在唯一实数使ka＋2b=(2a—4b）将a、b的坐标代入上式得（k—6，2k＋4）=(14，—4）得k—6=14且2k＋4=—4，解得k=—1方法二：同法一有ka＋2b=（2a—4b）,即（k—2)a＋（2＋4)b=0∵a与b不共线，∴04202k∴k=—110．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→=OA→