2012年高三数学一轮复习资料第八章-平面向量第3讲平面向量的数量积

-1-第3讲平面向量的数量积★知识梳理★1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角.特别提醒：向量a与向量b要同起点。2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos__叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos特别提醒：（1）（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0奎屯王新敞新疆（2）两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量奎屯王新敞新疆1)ea=ae=|a|cos；2)abab=03)当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|奎屯王新敞新疆特别的aa=|a|2或aaa||4)cos=||||baba；5)|ab|≤|a||b|3．“投影”的概念：如图定义：_____|b|cos_______叫做向量b在a方向上的投影奎屯王新敞新疆特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|奎屯王新敞新疆4．平面向量数量积的运算律交换律：ab=ba-2-数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)分配律：(a+b)c=ac+bc5．平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么a11xiyj，b22xiyj所以ba1212xxyy6.平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么：221221)()(||yyxxa7.向量垂直的判定：设),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx8.两向量夹角的余弦（0）cos=||||baba222221212121yxyxyyxx★重难点突破★1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题奎屯王新敞新疆3.重难点：.(1)向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别问题1:两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，a·0=0·a=0(不是零向量0，注意与λ0=0(λ∈R)区别)（2）向量数量积与实数相关概念的区别问题2:表示方法的区别数量积的记号是ba，不能写成ba，也不能写成ba(所以有时把数量积称为“点乘”，记号ba另外有定义，称为“叉乘”)．问题3:相关概念及运算的区别⑴若a、b为实数，且a·b=0，则有a=0或b=0，但a·b=0却不能得出a=0或b=0．因为只要a⊥b就有a·b=0，而不必a=0或b=0．-3-11cos12023()32oabab（）⑵若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab=ac可得b=c，但由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c．因若a、b夹角为θ1，a、c夹角为θ2，则由a·b=a·c得|a|·|b|cosθ1=|a|·|c|cosθ2及|a|≠0，只能得到|b|cosθ1=|c|cosθ2，即b、c在a方向上投影相等，而不能得出b=c(见图)．⑶若a、b、c∈R，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量a、b、c，则(a·b)·c与a·(b·c)都是无意义的，这是因为a·b与b·c是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(a·b)c≠a(b·c)，这是因为数量a·b与向量c相乘是与c共线的向量，而数量b·c与向量a相乘则是与a共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的．⑷若a、b∈R，则|a·b|=|a|·|b|，但对于向量a、b，却有|a·b|≤|a|·|b|，等号当且仅当a∥b时成立．这是因为|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|而|cosθ|≤1．★热点考点题型探析★考点一：平面向量数量积的运算题型1.求数量积、求模、求夹角[例1]23120oabab已知，，与的夹角为，求2212323abababab（）；（）；（）（）（）；4ab（）[解题思路]：直接用定义或性质计算解析：22222495abab（）22323253ababaabb（）（）（）2225cos1203oaabb81527342224()24697ababaabb（）[例2]12ababaab已知，，且与垂直，求与的夹角。[解题思路]：考虑公式cos=||||abab。θθ12bca-4-解析：ab设与的夹角为aba与垂直0aba（）20aba即221abaa12cos22abab[0180]oo，44ab与的夹角为【名师指引】注意公式2223253ababaabb（）（），当知道,ab的模及它们的夹角可求1234xaxbxaxb（）（）的数量积，反之知道1234xaxbxaxb（）（）的数量积及,ab的模则可求它们的夹角。题型2。利用数量积解决垂直问题[例3]若非零向量、满足，证明:[解题思路]：只须证明0。解析：[证明]由得:2222()()展开得:0,故[例4]在△ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值奎屯王新敞新疆[解题思路]：注意分情况计论解析：当A=90时，ABAC=0，∴2×1+3×k=0∴k=23当B=90时，ABBC=0，BC=ACAB=(12,k3)=(1,k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=311当C=90时，ACBC=0，∴1+k(k3)=0∴k=2133【名师指引】0baba是一个常用的结论。【新题导练】1．（广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考）-5-已知向量)1,1(a，),2(nb，若baba||，则n（）A．3B．1C．1D．3答案：D解析：29(1)2nn解得n32．执信中学2008-2009学年度高三数学试卷知abc，，为ABC△的三个内角ABC，，的对边，向量(31)(cossin)AA，，，mn．若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为（）A．ππ63，B．2ππ36，C．ππ36，D．ππ33，答案：C解析：由mn可得mn=0即3cossin0AA-所以角3A，且coscossinaBbAcC及23BC可得6B考点2利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围[例5]已知||2||0ab,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.[0,6]B.[,]3C.2[,]33D.[,]6[解题思路]：要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.解析：由关于x的方程0||2baxax有实根，得:2||4aab≥021||4aba.设向量,ab的夹角为θ，则cosθ=||||abab,又,0||2||ba221||14cos12||2aa，∴θ∈],3[.[答案]B.【名师指引】要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.【新题导练】3．设非零向量a=xx2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围[解析]a，b的夹角为钝角,xxxba2304322xx解得0x或34x(1)又由ba,共线且反向可得31x(2)-6-由(1),(2)得x的范围是31,,340,314．已知)2,(a，)2,3(b,如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是答案：43或0且13解析：a与b的夹角为锐角即cos0||||abab且akb，可得43或0且13★抢分频道★基础巩固训练1.2009年广东省广州市高三调研测试数学（理科）已知向量a=（x，1），b=（3，6），ab，则实数x的值为A．12B．2C．2D．21答案：B解析：360,2xx2.（广东省深圳市2009届高三九校联）已知212ba，4a，a和b的夹角为135，则b为（）A．12B．3C．6D．33答案：C解析：0||||cos135122abab，又4a可得b=63．广东省北江中学2009届高三上学期12月月考(数学理)ABC△内有一点O,满足0OAOBOC,且OAOBOBOC.则ABC△一定是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形答案：D解析：O为重心，由OAOBOBOC可知ABC△一定是等腰三角形4．广东省恩城中学2009届高三模拟考试（数学理）在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量(,),(,)mbccanbca，若mn,则角A的大小为（）A.6B.3C.2D.32答案：B-7-解析：由mn可得0mn即222()()()0,0bcbcacabbcca所以角A=35．广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试己知向量(cos,sin),(cos,sin)ab，a与b的夹角为60°，直线cossin0xy与圆221(cos)(sin)2xy的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．随,的值而定答案：C解析：a与b的夹角为60°所以0coscossinsin1cos6012||||abab圆心(cos,sin)到直线cossin0xy距离为coscossinsin112故选C6．广州市海珠区2009届高三综合测试设ABC是边长为1的正三角形,则CBCA=.答案：3解析：CBCA=2222||CACBCACACBCB综合拔高训练7．广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试（数学理）已知a＝(－1,3)，b＝(2,－1)，若(ka＋b)⊥(a－2b)，则k＝．答案：34解析：ka＋b=（2－k，3k－1），a－2b=（－5，5）所以(ka＋b)(a－2b)=0可得k=348．（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）设平面上向量13(cos,sin)(02),(,),22aba与b不共线，（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试（数学理））设平面上向量13(cos,sin)(02),(,),22aba与b不共线，（1）证明向量ab与ab垂直-8-（2）当两个向量3ab与3ab的模相等，求角．解析：（1）1313(cos,sin)(cos,sin)2222abab2213()()cossin044abab()()abab（2）由题意：22(3)(3)abab得：0ab13cossin022，得3tan3又02得6或769．（广东省五校2009届高三上学期第二次联考（数学理））设1F、2F