§6重积分的应用

《数学分析》下册第二十一章二重积分石家庄经济学院数理学院1§6重积分的应用教学目的学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力．教学内容曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式．基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式．教学建议：要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题．教学程序一、曲面的面积（一）、定义设D为可求面积的平面有界区域，函数yxf,在D上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程Dyxyxfz,,,，所确定的曲面S的面积.1．对投影区域D作分割T，它把分成n个小区域ini,,1，相应地也将曲面S分成n个小曲面片iSni,,1．在每个iS上任取一点iM，作曲面在这点的切平面i，并在i上取出一小块iA，使得iA和iS在平面上的投影都为i．2．取近似iiASni,,13．作和式niiniiASS114．取极限0T用和式niiS1的极限作为S的面积．（二）、计算公式1．先计算iA的面积，因切平面i的法向量就是曲面S在点iMiii,处的法向量，记它与z轴的夹角为i，则iiyiixiff,,11cos22,因iA在xy平面上的投影为i，所以《数学分析》下册第二十一章二重积分石家庄经济学院数理学院2iA=1cosi=iiyiixff,,122i．而和数ni1iA=niiiiyiixff122,,1是连续函数在有界闭区域D上的积分和，故当0T时就得到S=niiiiyiixTff1220,,1lim=dxdyyxfyxfDyx,,122,或S=niiiT10coslim=Dzndxdy,cos．其中zn,cos为曲面的法向量与z轴的正向夹角的余弦．例1求圆锥22yxz在圆柱体xyx22内的那一部分的面积．解S=dxdyyxzyxzDyx,,122,D是xyx22，22yxz，22yxxzx，22yxyzy,yxzyxzyx,,122=2,S=dxdyD2=2D=42．二、重心设V是密度为zyx,,的空间物体，zyx,,在V上连续，因V的质量为(,,)VMxyzdxdydz，V对yz平面的静力矩为(,,)Vxxyzdxdydz，由重心坐标的概念有，以zyx,,分别表示V的重心的各个坐标，应有(,,)xVMxxyzdxdydz，所以x=VVVdxdydzzyxdxdydzzyxxMdxdydzzyxx,,,,,,，类似地有y=VVVdxdydzzyxdxdydzzyxyMdxdydzzyxy,,,,,,，《数学分析》下册第二十一章二重积分石家庄经济学院数理学院3z=VVVdxdydzzyxdxdydzzyxzMdxdydzzyxz,,,,,,，若zyx,,为常数，则x=VxdvV，y=VydvV，z=VzdvV.对平面薄板D的情况，则有x=DDDdxdyyxdxdyyxxMdxdyyxx,,,y=DDDdxdyyxdxdyyxyMdxdyyxy,,,若yx,为常数，则x=DxdD，y=DydD.例3求密度均匀的上半椭球体的重心．解设椭球体由式1222222czbyax，0z表示由对称性知x=y=0，由前节的例5的结果，可得z=VzdvV=abczdxdydzV32=83c.三、转动惯量质点A对轴l的转动惯量J是质点A的质量m和到转动轴l的距离r的平方的乘积，即2mrJ.当讨论空间物体V的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体V的密度函数为zyx,,，它对x轴的转动惯量为xJ=Vdxdydzzyxzy,,22，同样地《数学分析》下册第二十一章二重积分石家庄经济学院数理学院4yJ=Vdxdydzzyxxz,,22，zJ=Vdxdydzzyxyx,,22，对xy平面的转动惯量为xyJ=Vdxdydzzyxz,,2，对yz平面的转动惯量为yzJ=Vdxdydzzyxx,,2，对zx平面的转动惯量为zxJ=Vdxdydzzyxy,,2，对原点的转动惯量为OJ=Vdxdydzzyxzyx,,222.平面薄板时的转动惯量问题也有类似的公式．例4求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量．解设圆环D为222221RyxR，密度为,则212241422222RRmRRdyxJD，其中m为圆环的质量.例5求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量解设圆盘为222Ryx密度为,则2200422414cosmRRrdrrddxJRD，其中m为圆盘的质量.例6设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量．《数学分析》下册第二十一章二重积分石家庄经济学院数理学院5解设球体由式2222Rzyx表示，密度函数为222zyxk，则它对切平面Rx的转动惯量为VdxdydzRxzyxkJ2222=200032sincossinRdrrrRddk=6911Rk.四、引力求密度为zyx,,的立体对立体外一质量为1的质点A的万有引力．设A的坐标为,,，V中点的坐标用zyx,,表示。我们用微元法来求V对A的引力，V中质量微元dVdm对的引力在坐标轴上的投影为dVrxkdFx3，dVrykdFy3，dVrzkdFzx3，其中k为引力系数，222zyxr是到的距离。于是力F在三个坐标轴上的投影分别为VxdVrxkF3，VydVrykF3，VzdVrzkF3，所以F=kFjFiFzyx.例7设球体V具有均匀密度，求对球外一点A（质量为1）的引力（引力系数为k）。解设球体由式2222Rzyx表示，球外一点A的坐标为a,0,0（aR）由对称性0yxFFVzdVrzkF3VdVazyxazk3222=kRa3234作业P259:1;2;3;4;5;6.