§8.1__简谐运动专题

§8.1简谐运动专题一、机械振动1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小;2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的,可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力;③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）二、简谐运动1．弹簧振子如图所示，把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动。小球和杆间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计，这样的系统称为弹簧振子。其中小球常称为振子。在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。2．位移x：振动中的位移是指振动物体离开平衡位置的位移。规定平衡位置作为位移的起点，与运动学位移定义不同。3．回复力①定义：使物体回到平衡位置，方向跟离开平衡位置的位移方向相反的力叫做回复力，它是按力的作用效果命名的（类似向心力）②表达式：kxF回。4．简谐运动物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动，简称谐振。5．简谐运动特征①因简谐运动的回复力kxF回是变力，因此振子的运动性质为变加速运动，不是匀变速运动。②在平衡位置时，速度最大，加速度为零。③在位移最大处，速度为零，加速度最大。④凡离开平衡位置移动的过程（上图中O→C或O→B）：v、Ek均减小，x、F、a、Ep均增大。凡向平衡位置移动的过程（上图中C→O或B→O）：v、Ek均增大，x、F、a、Ep均减小。BOC三、描述运动的物理量1．位移x2．振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量。它是表示振动强弱的物理量。3．周期T和频率f：振动物体完成一次全振动所需时间称为周期。单位时间内完成全振动的次数称为频率。周期与频率的关系：fT/1。周期和频率都是描述振动快慢的物理量。弹簧振子振动周期：T=2km/，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况（如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上）无关，是由本身性质决定因此称为固有周期。可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是kmT2。这个结论可以直接使用。4.振动过程中各物理量的变化情况振动体位置位移X回复力F加速度a速度v势能动能方向大小方向大小方向大小方向大小平衡位置O000最大最小最大最大位移处A指向A最大指向O最大指向O0→最大0最大最小平衡位置O→最大位移处A指向A0→最大指向O0→最大指向O最大O→A最大→0最小→最大最大→最小最大位移处A→平衡位置O指向A最大→0指向O最大→0指向O最大→0A→O0→最大最大→最小最小→最大说明：简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T／2。①凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大,x、F、a、EP均减小.②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；当在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．四、简谐运动的图像1．物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的规律。注意振动图像不是质点的运动轨迹。2．特点：只有简谐运动的图像才是正弦（或余弦）曲线。3．应用①可以确定振动物体在任意时刻的位移.②确定振动的振幅.③确定振动周期和频率.振动图像上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。④确定各质点的振动方向。⑤位移X、回复力F、加速度a、速度V、动能Ek、势能Ep的变化趋势。五、简谐运动的对称性1．相隔时间T或nT（n为正整数）的两个时刻是物体处于同一状态的时刻。2．相隔T/2或（2n+1）T/2(n为正整数)两个时刻位移大小相等，方向相反；速度大小相等，方向相反；加速度大小相等，方向相反。3．关于平衡位置对称的两点，动能相等，势能相等，速度大小相等。4．从对称点到平衡位置或是从对称点到最大位移的时间均相等。例题精析例题1：如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（）A、Mg；B．（M－m）g；C、（M＋m）g；D、（M＋2m）g【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1＝2mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为A＝x2－x1=mg／kD物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．例题2：如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为（）。（A）1Hz；（B）1.25Hz（C）2Hz；（D）2．5Hz解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。综上所述，本题应选择（B）。例题3：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？解析:由已知振子从A点开始运动，第一次经过O点的时间是1/4周期，第二次经过O点是3/4周期，设其周期T，所以有：t=3T/4,T=4t/3;振子第一次到O点的时间为3t；振子第二次到点的时间为32tT；振子第三次到O点的时间为232tT……第n次到O点的时间为32tTn（n＝0．1,2,3……）C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有：222211421232232318tTgttgHgnnnt例题4：如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使A随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是。当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为。解析：根据题意，只要在最高点A、B仍能相对静止，则它们就会始终不脱离。而在最高点，外界对A所提供的最大回复力为mg，即最大加速度amax=g，故A、B不脱离的条件是a≤g，可见，在振动过程中，是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。因为A在系统的平衡位置时，速度最大，此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零，由牛顿第三定律可知，a对B的压力大小等于其重力mg。拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为k，B的质量为mB，因为mg=mamax，振幅最大时，a才有最大值，，是由kAmax=（m+mB）g，得Amax=m+mB）g/k。②运动至最低点时A对B的最大压力是多少?③若让A从离静止的B上方h处自由下落与B相碰一起运动,则在最低点的加速度一定满足ag,为什么?例题5：在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x0后用细绳将m栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M间的动摩擦因数为μ，O点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M开始运动．求：①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？【解析】①在细线烧断时，小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用，开始时F必大于f．m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动．当F=f时车速达到最大值，此时m必在O点左侧。设此时物体在O点左侧x处，则kx=μmg。所以，当x＝μmg／k时，小车达最大速度．②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动．由于摩擦力的存在，小车和物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度v，因两物体组成的系统动量守恒，且初始状态的总动量为零，故v=0，即m与M的最终运动状态是静止的巩固练习：1．（09·天津·8）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin4t，则质点（AD）A.第1s末与第3s末的位移相同B.第1s末与第3s末的速度相同C.3s末至5s末的位移方向都相同D.3s末至5s末的速度方向都相同解析：由关系式可知rad/s4，s82T，将t=1s和t=3s代入关系式中求得两时刻位移相同，A对；画出对应的位移-时间图像，由图像可以看出，第1s末和第3s末的速度方向不同，B错；仍由图像可知，3s末至5s末的位移大小相同，方向相反，而速度是大小相同，方向也相同。故C错、D对。2.（09·宁夏物理·35）（1）某振动系统的固有频率为fo，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是_______（填入选项前的字母，有填错的不得分）A．当ff0时，该振动系统的振幅随f增大而减小B．当ff0时，该振动系统的振幅随f减小而增大C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f答案：BD解析简谐运动的周期T=2π与振幅无关,A错.波速取决于介质,B对.各质点并不随波迁移,做简谐运动的质点速度周期性变化,不是波速,C错.单A-A48t/sx123567O位时间内通过某质点的完全波个数即单位时间内全振动的次数,D对.3．（08江苏12）描述简谐运动特征的公式是x=.自由下落的篮球经地面反弹后上升又落下.若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能量损失,此运动（填“是”或“不是”）简谐运动.答案：Asint不是解析简谐运动方程x=Asint.篮球的受力是重力,大小方向不变,不满足简谐运动的力学特征F=-kx,所以篮球的运动不是简谐运动.4．（06北京理综17）某同学看到一只鸟落在树枝上的P处,树枝在10s内上下振动了6次.鸟飞走后,他把50g的砝码挂在P