§1.6导学案-微积分基本定理学案

-1-学校：西华三高学科：数学编写人：杨敬敬§1.6：微积分基本定理（导学案）学习目标1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分．2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．一、自主学习：1．定积分的定义：，2．定积分记号：思想与步骤几何意义．3．用微积分基本定理求定积分1201xdx0bkxdx二、新知探究新知1：微积分基本定理：背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算130xdx，211dxx其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（()vto），则物体在时间间隔12[,]TT内经过的位移记为S，则一方面：用速度函数v(t)在时间间隔12[,]TT求积分，可把位移S=21()TTSvtdt另一方面：通过位移函数S（t）在12[,]TT的图像看这段位移S还可以表示为12()()STST探究问题2：位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为()()Stvt上述两个方面中所得的位移S可表达为2112()()()TTvtdtSSTST上面的过程给了我们启示上式给我们的启示：我们找到了用()fx的原函数（即满足()()Fxfx）的数值差()()FbFa来计算()fx在[,]ab上的定积分的方法。定理如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。-2-例1．计算下列定积分：120xdx211dxx3211(2)xdxx例2．结合前面所学求下列积分：例3．计算下列3个定积分：2200sin,sin,sinxdxxdxxdx。由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积解释所发现的结论。思考：问题1：①0sin_____________xdx求，②0sin?xdx的几何意义③当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取___值，且等于_______________________面积；问题2：①2sin______________xdx求，②2sinxdx的几何意义？③当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取____值，且等于_______________面积；问题3：①20sin______________xdx求.②20sinxdx的几何意义？-3-③当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为_____，且等于_____________________面积．问题4：可以发现，定积分的值可能取______________新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：2204xdx20sinxdx若201()512xxfxx求20()fxdx新知3：用定积分求平面图形的面积1、计算函数1yx在区间0,1的积分2、计算函数21yx在区间0,1的积分3、求1yx与21yx在区间0,1围成的图形的面积通过此题的计算你发现了什么？规律总结：※当堂检测1．50(24)xdx=（）A．5B。4C。3D。22．若11(2)3ln2axdxx，且a＞1，则a的值为（）A．6B。4C。3D。3．dxx|4|102=（）A．321B．322C．323D．325-4-4．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为（）A．203gtB．20gtC．202gtD．206gt5．曲线2xy与直线2xy所围成的图形（阴影部分）的面积等于．6、（提高）：如图，阴影部分的面积是（）A．32B．329C．332D．335※课后练习一：用微积分基本定理求简单函数的定积分1、120xdx2、402cosxdx3、102dxex4、10(x2－2x)dx；5.20(4－2x)(4－x2)dx；6.21x2＋2x－3xdx.二：用微积分基本定理求分段函数的定积分7．设2(01)()212xxfxxx，则20)(dxxf等于()A.34B.45C.56D．不存在8．11-|x|dx等于()A.11-xdxB.11-dxC.01-(－x)dx＋10xdxD.01-xdx＋10(－x)dx三：利用定积分的几何意义求定积分9、利用定积分的几何意义计算定积分①②③④.60(2x－4)dx四.（提高）：已知221,2,21,2,4xxfxxx当k为何值时，3403kfxdx成立