TB解直角三角形的应用-方向角问题

2015年09月01日1877896335的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题(共1小题)1．一只兔子沿OP(北偏东30\circ)的方向向前跑．已知猎人在Q(1，)点挖了一口陷阱，问：如果兔子继续沿原来的方向跑有(填“有”或“没有”)危险？来源：难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：本题就是求原点O与点Q的连线与x轴的夹角．解答：解：如图，过点Q(1，)作QA\perpx轴，则QA=，OA=1，\because\tan\angleQOA==，\therefore\angleQOA=60\circ，\thereforeO、P、Q三点在同一直线上，所以如果兔子继续沿原来的方向跑有危险．故答案为有．点评：本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握正切函数及方向角的定义是解题的关键．2015年09月01日1877896335的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题(共30小题)1．(2015\cdot宁夏)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4\rmkm，某船从港口A出发，沿北偏东15\circ方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60\circ的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为2\rmkm．来源：2015年宁夏中考数学试卷难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：过点A作AD\perpOB于D．先解Rt\triangleAOD，得出AD=OA=2\rmkm，再由\triangleABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2\rmkm，则AB=AD=2\rmkm．解答：解：如图，过点A作AD\perpOB于D．在Rt\triangleAOD中，\because\angleADO=90\circ，\angleAOD=30\circ，OA=4\rmkm，\thereforeAD=OA=2\rmkm．在Rt\triangleABD中，\because\angleADB=90\circ，\angleB=\angleCAB-\angleAOB=75\circ-30\circ=45\circ，\thereforeBD=AD=2\rmkm，\thereforeAB=AD=2\rmkm．即该船航行的距离(即AB的长)为2\rmkm．故答案为2\rmkm．点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．(2015\cdot黔东南州)如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60\circ方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．来源：2015年贵州省黔东南州中考数学试卷难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：过M作东西方向的垂线，设垂足为N．由题易可得\angleMAN=30\circ，在Rt\triangleMAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可．解答：解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．易知：\angleMAN=90\circ=30\circ．在Rt\triangleAMN中，\because\angleANM=90\circ，\angleMAN=30\circ，AM=100海里，\thereforeAN=AM\cdot\cos\angleMAN=100\times=50海里．故该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．故答案为50．点评：本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质作出辅助线是解决本题的关键．3．(2015春\cdot茅箭区月考)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30\circ方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45\circ方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为40海里．(结果保留根号)来源：2015年湖北省十堰市茅箭区中考数学一模试卷难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：作PC\perpAB于C，由已知条件易求PC的长，在Rt\trianglePBC中，PC=40，\anglePBC=\angleBPC=45\circ，则PB可求出．解答：解：作PC\perpAB于C，在Rt\trianglePAC中，\becausePA=80，\anglePAC=30\circ，\thereforePC=40海里，在Rt\trianglePBC中，PC=40，\anglePBC=\angleBPC=45\circ，\thereforePB=40海里，故答案为：40．点评：本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．(2015\cdot长沙模拟)在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60\circ方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成．来源：2012年浙江省杭州市西湖区中考数学模拟试卷(八)难度：0.78考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：过点A作AC\perpx轴于C，根据已知可求得小岛A的坐标．解答：解：过点A作AC\perpx轴于C．在直角\triangleOAC中，\angleAOC=90\circ-60\circ=30\circ，OA=14千米，则AC=OA=7千米，OC=7千米．因而小岛A所在位置的坐标是(7，-7)．故答案为：(7，-7)．点评：本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．5．(2015\cdot海淀区二模)如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75\circ方向20米处，点C在点A南偏西15\circ方向20米处，则点B与点C的距离为20米．50164569407932来源：难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：根据已知条件得到\angleBAC=90\circ，AB=AC=20米，由勾股定理即可得到结论．解答：解：根据题意得：\angleBAC=90\circ，AB=AC=20米，在Rt\triangleABC中，BC===20，故答案是：．点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，会识别方向角是解题的关键．6．(2015\cdot杭州模拟)如图，小明同学在东西走向的山阴路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60\circ方向上，在A处往东200米的B处，又测得该服务点P在北偏东30\circ方向上，则该服务点P到山阴路的距离PC为100米．来源：难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用PC分别表示出AC、BC，利用两线段的差等于200米列出关于线段PC的式子，求得PC即可．解答：解：\because在Rt\trianglePBC中，=\tan\anglePBC，\thereforeBC==PC，\because在Rt\trianglePAC中，=\tan\anglePAC，\thereforeAC==PC，\becauseAB=AC-BC=200，\thereforePC-PC=200，解得：PC=100．故答案为100米．点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可．7．(2015\cdot东营区校级模拟)如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60\circ的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30\circ的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．来源：2015年山东省东营实验中学中考数学模拟试卷(4)难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：根据方向角的定义及余角的性质求出\angleCAD=30\circ，\angleCBD=60\circ，再由三角形外角的性质得到\angleCAD=30\circ=\angleACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt\triangleBCD，求出CD即可解答．解答：解：根据题意可知\angleCAD=30\circ，\angleCBD=60\circ，\because\angleCBD=\angleCAD+\angleACB，\therefore\angleCAD=30\circ=\angleACB，\thereforeAB=BC=20海里，在Rt\triangleCBD中，\angleBDC=90\circ，\angleDBC=60\circ，\sin\angleDBC=，\therefore\sin60\circ=，\thereforeCD=12\times\sin60\circ=20\times=10海里．故答案为：10海里．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．8．(2015\cdot滨湖区校级二模)某人从A处出发沿北偏东30\circ方向走了l00米到达B处，再沿北偏西60\circ方向走了100米到达C处，则他从C处回到A处至少要走100米．来源：难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：先根据题意画出图形，再利用平行线的性质及平角的定义得出\angleABC=90\circ，再根据勾股定理即可求解．解答：解：如图，由题意得\angleDAB=30\circ，\angleFBC=60\circ，AB=BC=l00米．\becauseAD\parallelBE，\therefore\angleABE=\angleDAB=30\circ，\because\angleCBF=60\circ，\therefore\angleABC=180\circ-\angleABE-\angleCBF=180\circ-30\circ-60\circ=90\circ，在Rt\triangleABC中，由勾股定理得AC==100米，即他从C处回到A处至少要走100米．故答案为100．点评：本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，平角的定义，勾股定理的应用，先确定\triangleABC是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．根据方向角的定义正确画出图形是解题的关键．9．(2015\cdot深圳模拟)一渔船在海岛A南偏东20\circ方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西65\circ方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10\circ方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为20海里/分．来源：难度：0.80考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有分析：作CD\perpAB，得到两直角三角形\triangleACD、\triangleBCD，利用三角函数的知识即可求得答案．解答：解：作CD\perpAB，\because\angleCAB=10\circ+20\circ=30\circ，\angleCBA=65\circ-20\circ=45\circ，\thereforeBD=CD=x海里，则AD=[20-x]海里，在Rt\triangleACD中，=\tan30\circ，则=，解得x=20，在Rt\triangleACD中，AC=2\times20=40海里，40\div20=20海里/分．故答案为：20海里/分．点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向