“三次函数的图象和性质”教学设计

-1-“三次函数的图象和性质”教学设计1、设计意图与学情分析三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材。本节课是在复习“二次函数”基础上的一节高三复习探究课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。通过本节内容的教学，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、函数极限、导数等相关知识，完善学生的知识结构，体会其中蕴涵的数学思想方法，同时也有利于扩展学生的数学视野，体验再发现和再创造的过程，发展学生独立获取数学知识的能力，提高学生应用所学知识解决问题的能力。另外，作为高三复习教学，力求想走出简单重复与承袭过去的怪圈，三次函数在近几年全国各地高考及模拟试题中频繁出现，但教材和各种资料中往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。2、教学目标与重点难点通过这节课的教学想达到下列三个目标：1）知识目标：让学生了解三次函数的概念、定义域、值域；能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性，发现三次函数图象的对称性，进一步理解函数的单调性、对称性、极值，能利用图象来讨论三次方程实根的个数，体会分类讨论、数形结合、函数方程的数学思想方法。2）能力目标：培养学生识图能力、探究能力和创新意识，提高运用所学知识解决问题的能力。3）情感目标：让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程，鼓励学生勇于探索、设法寻到解决问题的方案，体验“再创造”的乐趣。这节课的教学重点是讨论三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数，发现三次函数图象的对称性，其中发现并验证三次函数图象的对称性是本节课的教学难点。3、设计思想与教学方法这节课的设计强调学生主动探究式的学习方式，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，注重培养学生的终生学习能力。按建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被有效地同化和顺应。自然，学生在探索的过程中会遇到障碍，需要得到教师的适时引导和帮助，教师应该围绕学生的“最近发展区”做文章。本节课始终贯彻的教学方式是：因此，不是简单地给出三次函数的概念、单调性、对称性，而是通过创设情境，搭设台阶，类比二次函数，从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性，利用多媒体呈现三次函数的图象，凭借图象的直觉去发现、去探索，从直觉层面、几何层面、代数层面、导函数分析层面，数形结合层面进行思考逐步加深对三次函数图象和性质的认识，最后，借助连续函数的零点存在定理来讨论三次方程的实根的个数，作为对三次函数图象和性质的应用。在整个教学过程中，学生的主体地位得到充分发挥，教师起组织者、帮助者和促进者的作用，利用情境、对话等学习环境充分发挥学生的主动性、积极性和创造精神，使数学教学成为数学活动的教学，享受探究带来的成就感，激发学生学习数学的兴趣，提高他们发现问题、分析问题、解决问题的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。4、教学流程4．1三次函数概念T：类比二次函数，请同学们自己对三次函数下定义。[板书]形如)0(23adcxbxaxy的函数叫做三次函数。定义域：R；问题情景理性归纳解决问题探索研究启迪思维-2-T：要求三次项的系数不为0，那么三次项的系数a与函数值变化有什么关系？S：当0a时，让x无限增大，对函数值y起决定地位的是3ax项，即x，y；同样地当x时，y，（让学生体会极限的思想方法）[板书]：值域为RT：下面我们从已搭建的研究函数的一般“平台”出发来探讨三次函数的图象和性质。4．2三次函数的图象和性质4．2．1单调性：T：研究三次函数的单调性，常用什么工具？S：导数。T：下面我们一起先来做两个题目：(多媒体演示例1、例2)例1、已知13)(23xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围。例2、试确定函数xxxf3)(3的单调区间，并在同一坐标系中画出此函数与它的导函数图象。（以上两题由同学们自己完成，然后交流。旨在复习导数、极值二次不等式恒成立等相关知识，引导学生从特殊的简单的情形出发，先从图象上直观感知三次函数的单调性，并能结合导函数图象（如图1）分析，为接下来得出一般性结论作铺垫）T：要使函数)0(23adcxbxaxy在R上是单调函数，系数应满足什么条件？要使函数)0(23adcxbxaxy图1在R上不是单调函数，那么它在R上一定有几个单调区间，系数又应满足什么条件？（通过学生自主探究，相互交流、讨论，得出以下结论）[板书]一般地，当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上是单调函数；当032acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在R上有三个单调区间。（根据0,0aa两种不同情况进行分类讨论）4．2．2对称性：T：根据你的经验，三次函数的图象有何特征？S：象“闪电”一样。T：三次函数是否具有奇偶性？S：有些是奇函数，有些不是奇函数，但不可能是偶函数。T：奇函数的本质是什么？S：奇函数的图象关于原点成中心对称。T：下面我们一起来观察几个三次函数的图象，表达式中的系数dcba,,,请同学们提供。（多媒体演示几个三次函数的图象）OYyxOyxy-3-T：三次函数图象有什么共性？图象有对称中心吗？（学生的思维被激活，他们开始讨论，有些说有对称中心，有些说没有对称中心）S1：三次函数图象好象都是关于某个点成对称，且对称中心就在三次函数的图象上。（直觉是发现的前奏）S2：老师，因为三次函数)0()(23adcxbxaxxf的导函数是二次函数)0(23)(2acbxaxxf，二次函数是轴对称图形，根据导数的几何意义，说明三次函数的图象上关于某个点对称的两点处的导数值始终相等，说明这两点处切线的斜率相等。S3：是的，我猜想：三次函数)0()(23adcxbxaxxf对称中心的横坐标是其导函数的极值点的横坐标abx3。（教师鼓励他们，继续引导学生从感性向理性过渡）T：3)(xxf，BxAxxf3)(，它们都是奇函数，所以他们的对称中心均为原点)0,0(。T：函数)()()(030xxBxxAxf有对称中心吗？S4：有，是点)0,(0x.T：追问：函数0030)()()(yxxBxxAxf有对称中心吗？S5：有，是点),(00yx.S6：（抢着说）老师，我知道了，三次函数一定有对称中心，你随便给我一个三次函数，我总可以把它化为0030)()()(yxxBxxAxf的形式。T：为什么？S6：我象二次函数配方那样，对三次函数“配三次方”，一定可以把二次项“隐藏”起来。T：精彩！二次函数经过“配方”，“配”出了一条对称轴，三次函数经过“配三次方”，“配”出了一个对称中心。请大家一起来试试。[板书]例3、试求函数663)(23xxxxf图象的对称中心。OyxOxyOx-4-S：找到了，点)2,1(。（用图象来验证）T：[板书]∵2)1(3)1()(3xxxf∴函数)(xf的图象关于点)2,1(对称。事实上这里的00,,yxB被dcb,,所确定，任意一个三次函数)0(23adcxbxaxy一定能化为0030)()()(yxxBxxaxf的形式。（培养学生化归意识，也体现了方程思想）T：我们把它叫三次函数的“什么式”？S7：联想到二次函数的解析式有：一般式、顶点式、两根式，把它叫“中心式”。S8：老师，我想用以前学过的一个结论（函数)(xf，对于定义域内的任意x，都有bxafxaf2)()(成立的充要条件是函数)(xf的图象关于点),(ba对称）来证明？但感觉很麻烦。T：想法很好，我们只需证明()()2()333bbbfxfxfaaa，请同学们课后完成。（教师归纳总结，结合三次函数图象及它的导函数图象，根据导数的几何意义来加以解释：三次函数)0()(23adcxbxaxxf对称中心的横坐标是其导函数的极值点的横坐标，并归纳证明三次函数对称性的两种方法）方法一：任意一个三次函数都可化为0030)()()(yxxBxxAxf的形式。方法二：用结论（函数)(xf，对于定义域内的任意x，都有bxafxaf2)()(成立的充要条件是函数)(xf的图象关于点),(ba对称）来证明。[板书]三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abfab，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。4．4应用——讨论三次方程实根的个数[板书]例4、讨论方程)0(023adcxbxax的实根的个数。分析：函数)0()(23adcxbxaxxf的图象与x轴有几个交点，方程便有几个根。（通过学生的自主探索，师生交流，共同完成以下结论）1、当△=01242acb时，由于不等式0)(xf恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。2、当△=01242acb时，由于方程0)(xf有两个不同的实根21,xx，不妨设21xx，由图象可知，))(,(11xfx为函数的极大值点，))(,(22xfx为极小值点，且函数)(xfy在y)(1xfyO2xx)(1xf1x-5-),(1x和),(2x上单调递增，在21,xx上单调递减。此时：1）若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根（如图2、3）。图2图32）若0)()(21xfxf，即函数)(xfy极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根（如图4）。3）若0)()(21xfxf，即)(1xf与)(2xf中有且只有一个图4值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等（如图5、6）。图5图64．5课堂小结4．6课外练习5、课后反思与探讨在新课程理念的指导下，我设计了这样一节复习探究课。总的看来，课堂气氛民主、和谐，学生普遍有浓厚的兴趣，参与度高，大多数同学既能自主探索，敢于发表自己的见解，也能倾听别人的想法，师生之间、学生之间的思想不断碰撞，教学资源不断生成（原先的教yx1xO2xy1xO2xxy1xO2xx)(1xf)(2xf-6-案中没有“配三次方”、“三次函数的中心式”等内容），充分发挥多媒体的优势，呈现各种三次函数图象（这是以往教学难以实现的），给学生创设了广阔的思维空间，既增强了学生的感性认识，从变化中去寻找不变的东西，为发现三次函数的对称中心提供了想象的基础，又为探索赢得了时间。也让我再次领略到学生无穷的潜能，教师要做的是努力去开发他们。课堂教学永远是门“遗憾的艺术”，有许多问题值得探讨。首先，教学目标是否适切，是否有超出要求之嫌。三次函数的对称中心也称奇异切点，属于高等数学研究范围，但理论层面上讲是极为初等的，具有可操作性，如果在计算机上用切线法模拟寻找该对称点，将非常迅速，精度很高。这一点是否有必要在课堂上进行演示，以加深学生对三次函数对称中心的理解。另外，由于课堂上没有严格证明“三次函数图象的对称性”，是否会损害数学的严谨性和教学的完整性。其次，课堂容量是否太大，在探索“对称性”过程中，由于教学时间的局限性，有些环节“放”的还不够，个别新生成的教学资源没有充分开发其功能。如一位学生说“三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是轴对称的”。事实上，对可导函数而言，原函数是关于点对称的，则其导函数是轴对称；若原函数是轴对称，则其导函数是点对称。但此结论的逆命题不成立。再次，本节课固然收获颇多，但我清醒看到几位表情漠然的学生，让我感到内疚，也使我意识到如果学生基础知识不过关，探索、发现、创新无从谈起，“没有基础的创新是空想，没有创新的打基础是傻练”。如何找到两者的平衡点，值得我们思考。