“勾股定理”教学设计

1“勾股定理”教学设计陵水东华初级中学苏恩杰教材：国家课程标准华师大版实验教材八年级下册§19.2《勾股定理》教材的地位与作用：勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。是几何中重要定理，是学生后续学习的重要基础。教学目标：1.知识目标掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。2.能力目标通过勾股定理的发现与证明，渗透数形结合的思想方法，增强逻辑思维能力，操作探究能力。3.情感目标通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．通过定理的探索，培养学生的探索精神和和合作交流的能力。教学重点、难点：1、教学重点：勾股定理内容及其简单应用。2、教学难点：勾股定理的证明，勾股定理在实际生活中的应用。教学模式：本节的教学分为五步：情境引入——定理探索——定理应用——定理证明——课堂拓展的模式展开。教师引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题并与学生共同探索、讨论。让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解勾股定理的意义。为了提高课堂教学的效益，本节课拟以《几何画板》软件为平台，利用几何画板的强大的演示实验功能，帮助学生对勾股定理进行自主、合作探索，便于知识的形成与发展。同时利用广播教学系统，局域网和互联网的优势，大大拓展学生的视野和活动空间。教学过程的设计一、情境引入——创设情境，激发冲突1.一个美丽的故事：世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。2.一个著名的问题：《九章算术》有一勾股定理名题:“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”5尺1尺x尺（x－1）尺DACABD图12图2BRacQCbAP本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。问水有多深，该植物有多长？教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题，从而出示课题——勾股定理。【设计意图】通过“一个美丽的故事”的阅读，创设一个遐想的情境，诱发学生发挥想像，初步感受勾股定理的神秘，从而调动学生的情绪，使学生以饱满的热情进入学习探究状态。通过“一个著名的问题”初步探究，了解勾股定理的古老与神奇。问题本身具有极大的挑战性，这样无形中激发了学生的强烈的求知欲，为学生主动探究课题做好了心理准备。二、定理探索——自主操作，引导探索（一）定理探索1：等腰直角三角形的三边数量关系出示如图2所示图形，说明图中每个小方格代表一个单位面积。引导学生根据三个问题进行个体主动探究与思考。问题1：你能说出正方形P，Q，R的面积及其数量关系吗？问题2：你能说出正方形P，Q，R的面积和直角三角形三边a，b，c之间的关系？问题3：你能说出等腰直角三角形三边之间的数量关系吗？教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的不同研究方法进行全班交流。（二）定理探索2：直角三角形的三边数量关系出示如图3所示图形，说明图中每个小方格代表一个单位面积。引导学生根据两个问题进行个体主动探究与思考。问题1：你能说出正方形P，Q，R的面积及其数量关系吗？问题2：你能说出等腰直角三角形三边之间的数量关系吗？教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的不同研究方法进行全班交流。（三）定理探索3：验证猜想引导学生操作：在《几何画板》的格点中画出直角边为5cm、12cm的直角三角形，验证你刚才的猜想是否成立。（图中每个小方格的边长为1cm）教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的研究结果进行全班交流。（四）定理探索4：得出结论引导学生思考问题：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？如图4，学生利用《几何画板》的动态演示，在运动过程中注意观察各个正方形面积的变化及其关系，从而得出勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。如图5，即：若△ABC中，∠ACB＝90°，则222.abc.变形：若∠ACB＝90°，则222222,,.acbbcacab图3bBRPacCAQcbamACB90.00面积FGCB+面积ACHI12.1976厘米2面积FGCB面积ACHI面积EDBA4.1329厘米28.0647厘米212.1976厘米2让C动起来EDHIFGABC图4b股a勾c弦ABC图53教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。【设计意图】八年级学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中逐渐完善自己的观点。故本段设计遵循“构建主义”的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。教师只是给学生提供一定的学习“情景”，在此“情景”中，学生通过“协作”、“会话”和“意义建构”进行有效学习。定理的探索按照由“特殊”到“一般”的思想方法进行，在思想认识上循序渐进，学生容易接受。学生在走完一步时，自然想到下一步是否可行。在得到猜想后自然会设法验证自己的猜想的正确性，借助于《几何画板》顺利“得出正确结论”。三、定理应用——实际应用、巩固新知（一）定理应用1：一个著名问题的解决例1如图6，将梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，梯子的长为5.41米。求梯子上端A到墙的底端B的距离.（精确到0.01米）解在Rt△ABC中，∠ABC=90゜，BC=2.16，AC=5.41，根据勾股定理得AB＝22225.412.16ACBC≈4.96（米）答：梯子上端A到墙的底端B的距离约为4.96米.例2有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。问水有多深，该植物有多长？解由题意得：在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，BC=5，CD=1，设植物长AB＝x，则水深AC＝x－1，根据勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，所以x2＝（x－1）2＋52，所以x＝13，x－1＝12。答：水深12尺，植物长13尺.【设计意图】本段内容主要通过教师启发引导，学生共同探究完成，一方面让学生感受解决问题的愉悦与强烈的成就感，加强对勾股定理的理解。另一方面教师作为教学的组织者，很有必要通过适当的讲解让学生知道：（1）勾股定理应用的前提条件（在直角三角形中）；（2）勾股定理应用的方式（直接计算，如例1，构造方程，如例2）。同时例2的解决与“引入”部分形成前后呼应。例2具有较大的难度，用传统的方法很难把题意弄清，更不用说是让学生听明白。但利用《几何画板》的动态演示，学生很快明白题意，顺利将此问题转化成纯数学问题，再通过添加适当的辅助线将此问题转化成直角三角形的问题，从而正确进行数学建模。（二）定理应用2：你会运用吗？这节课的内容掌握得怎么样？同学们很想检验一下本节课的学习效果吧！请同学们根据需要选择下面不同难度的题目，（1）轻松过关；（2）略加思考；（3）勇于挑战。（题目略，可参考课件）【设计意图】本段遵循“因材施教”，“人人学有价值的数学”，“让不同的人得到不同的发展”的教学理念。尝试进行分层练习，以适合不同层次的学生的需要，让所有学生都能体验成功，有利于调动学生的学习积极性，对优秀学生则通过较难的具有挑战性的练习体现他们的“价值”。CBA图6x尺（x－1）尺5尺1尺CABD图74练习提供查看答案，及时反馈学生的学习效果。对练习全部正确的同学，给出“祝贺”，否则，给出鼓励，强化学生的情感体验。四、定理证明——分组学习，集体交流定理证明：你会证明吗？.勾股定理的证明方法有数百种之多，现列举三种典型证法。请根据老师分组选取一种证法加以研究，并将结果与其他小组进行交流！（一）证法一拼图法——藏与拼图游戏中的巧妙的证明方法，如图8。1.操作：请将下面8个全等的直角三角形和3个正方形拼入下面的两个边长为a+b的大正方形中。2.请根据拼图结果证明勾股定理。证明：由左图可知：22142abcab；由右图可知：222142ababab；所以222abc。（二）证法二弦图法——三国时期（约公元三世纪）赵爽的《勾股圆方图》的证明方法，如图9。1.操作：请拖动控制点并仔细观察。2.请根据操作和观察结果证明勾股定理。证明：当控制点在正方形ABCD内时222222221()4;22;.2Scbaabcbabaabcab当控制点在正方形ABCD外时222222221()4;22;.2Scbaabcbabaabcab（三）证法三原本法——希腊数学家欧几里德的《几何原本》的证明方法，如图11。1.操作：请在C点运动过程中观察矩形ADNM、BENM和正方形ACHK、BCGF的面积关系。2.请根据观察结果证明勾股定理。证明：证明：在Rt△ABC的三边上向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形被分成两个矩形．连结CD和KB．∵由于矩形ADNM和△ADC有公共的底AD和相等的高，∴Ｓ矩形ADNM＝2Ｓ△ADC又∵正方形ACHK和△ABK有公共的底AK和相等的高，∴Ｓ正方形ACHK＝2Ｓ△ABK在△ADC和△ABK中∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB∴△ADC≌△ABK由此可得Ｓ矩形ADNM＝Ｓ正方形ACHK同理可证Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形BCGF图9cbaBCD控制点AcbaBCD控制点A图10cab矩形ADNM的面积+矩形BENM的面积正方形ACHK的面积+正方形BCGF的面积10.94厘米210.94厘米2正方形BCGF的面积矩形BENM的面积正方形ACHK的面积矩形ADNM的面积7.47厘米27.47厘米23.47厘米23.47厘米2显示证明BAFKMGHCDEN图11拼图2图形复原(双击)拼图1旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点旋转控制点图85∴Ｓ正方形ABED＝Ｓ矩形ADNM＋Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形ACHK＋Ｓ正方形BCGF即222abc。【设计意图】本段采用小组合作学习方式进行，学生按教师事先分好的小组以小组为单位进行合作学习，每个小组选择一种证法进行研究。每个小组有4名成员，位置相邻，便于所有的人都能参与到明确的集体任务中。小组成员之间相互依赖、相互沟通、相互合作，共同负责，从而达到共同的目标。在集体学习的基础上，每组推选一位同学代表本组进行学习交流，主要时将本组证法的思路讲清，同时同组同学可以补充或纠错。其他小组此时则通过聆听对他组的证法进行学习。（四）课堂小结这节课你有哪些收获？你能谈谈你对这节课的感受吗？【设计意图】一个好的小结，不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想、方法的总结，学生通过自己的总结，不仅促进了对知识的理解，培养了数学表达能力和概括能力，而且通过归纳反思，能有效地把握知识的脉搏，找到知识之间的内在联系，这对于学生主动构建良好的认知结构大有裨益，也让学生从中学会感悟数学。五、课堂拓展——课堂延伸，满足需要课堂延伸包括如下内容：美丽的勾股树——让学生感受数学美的同时，了解勾股树的构造。勾股史话——让学生了解勾股定理的历史与现状。网上搜索——给学生