“古典概型”教学设计

“古典概型”教学设计（1）浙江省桐乡市高级中学邱强一．内容和内容解析本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，他的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值，同时古典概型也是后面学习条件概率的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。主要内容有：１．基本事件的概念及特点：（１）任何两个基本事件是互斥的；（２）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。２．古典概型的特征：（１）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（２）每个基本事件出现的可能性相等。３．古典概型的概率计算公式，用列举法计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率。随机事件概率的基本算法是通过大量重复试验用频率来估计，而其特殊的类型――古典概型的概率计算，可通过分析结果来计算。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。本节课的重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。二．目标和目标解析１．通过“掷一枚质地均匀的硬币的试验”和“掷一枚质地均匀的骰子的试验”了解基本事件的概念和特点２．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式。根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。３．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。４．会初步应用概率计算公式解决简单的古典概型问题。用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。三．教学问题诊断分析学生已有的知识结构是，已经学习了随机事件的概率，通过实例，已经了解随机事件的不确定性和频率的稳定性。了解了概率的意义，了解互斥事件及有限个互斥事件概率加法公式。和老教材的区别在于，学生是在尚未学习排列组合的情况下学习概率的。学生学习的困难在于，对古典概型的两个特征理解不够深刻，一看到试验包含的基本事件是有限个就用古典概型的公式求概率，没有验证“每个基本事件出现是等可能的”这个条件；另外对基本事件的总数的计算容易产生重复或遗漏。本节课的教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。在判断一个试验是否是古典概型时，教师可以设置一些问题让学生判断，加深对两个特点缺一不可的理解。在例３的教学中，给出由于忽略等可能的条件而导致的错误解法，引起学生的认知冲突，有利于学生的掌握知识。四．教学条件支持为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机进行辅助教学。进行例３教学时，通过模拟和分析两种方式中每个基本事件的等可能性，引导学生发现在第二种情况下每个基本事件不是等可能的。五．教学过程设计（一）创设情境，引出课题问题１：考察两个试验：（１）抛掷一枚质地均匀的硬币的试验；（２）掷一颗质地均匀的骰子的试验。在这两个试验中，可能的结果分别有哪些？设计意图：通过掷硬币与掷骰子两个接近于生活的试验的设计。先激发学生的学习兴趣，然后引导学生观察试验，分析结果，找出共性。师生活动：学生思考、讨论，教师利用试验给出所有可能出现的结果即基本事件。问题２：基本事件有什么特点？师生活动：教师加以引导与启发，利用基本事件的关系发现基本事件的特点。学生归纳与总结，鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力问题３：在掷骰子试验中，随机试验“出现偶数点”可以由哪些基本事件组成？设计意图：通过举例，进一步加深对基本事件的理解，从而为引出古典概型的定义做好铺垫。问题４：例１.从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的实验中，有那些基本事件？设计意图：为了引出古典概型的概念，设计了例1。将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。师生活动：教师引导学生列举时做到不重复、不遗漏。学生列举出基本事件。教师指出画树状图是列举法的基本方法（二）通过设疑，引出概念问题１：你知道掷均匀硬币出现正面朝上的概率是多少？掷骰子出现偶数点的概率是多少？例１中出现字母“d”的概率又是多少？设计意图：学生根据已有的知识，已经可以独立得出概率，通过教师的步步追问，引导学生深层次的考虑问题，看到问题的本质，得出概率公式。让学生带着思考问题观察试验，使其有目的的去寻找答案，有效的利用课堂时间，达到教学目标。公式的推导是在老师的启发引导下，让学生带着好奇心去观察数学模型。师生活动：学生较容易得出上述问题的概率。教师追问：这些概率你是怎么得出的？学生：（１）从实验来的；（２）从可能性角度分析得到的。对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现１点，２点，…，６点的事件分别为Ａ１，Ａ２，…，Ａ６，记“出现偶数点”为Ｂ，则Ｐ（Ａ１）＝Ｐ（Ａ２）＝…＝Ｐ（Ａ６），又Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＝Ｐ（Ａ６）＝Ｐ（必然事件）＝１所以：Ｐ（Ａ１）＝Ｐ（Ａ２）＝…＝Ｐ（Ａ６）＝教师追问：出现偶数点的概率为什么是？师生：记“出现偶数点”为事件Ｂ，利用概率的加法公式有Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ２）＋Ｐ（Ａ４）＋Ｐ（Ａ６）＝＝推导出概率公式：问题２：上述概率公式的推导过程中基本事件有什么特点？设计意图：培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想。启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力。通过问题的解决引出古典概型的概念。师生活动：教师引导学生找出共性。具有下列两个特点的概率模型才能运用上述公式，我们称为古典概率模型，简称古典概型。（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）问题３：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？（２）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？设计意图：两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。师生活动：学生互相交流，回答补充，教师归纳。（１）不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的；（２）不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。（三）例题分析，加深理解问题１：例２.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考察内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？设计意图：这节课的难点就是古典概型的判断，对例2的分析是突破难点的契机，引导学生分析例2是否满足古典概型的两个基本特征有限性与等可能性，由此掌握求此类题目的方法，让学生进一步理解古典概型的概率计算公式，体验概率与实际生活是息息相关的。师生活动：教师引导学生思考是否满足古典概型的特征？学生思考、讨论、交流，说出看法，教师对学生的回答进行归纳与总结。解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型。学生根据已学知识回答：问题２：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选择所有正确答案，同学们有一种感觉，如果不知道正确答案多选题更难猜对，这是为什么？设计意图：上述问题的设计，让学生感受到数学模型的生活化，能用所学知识解决新问题是数学学习的主旨。当学生用自己的知识解决问题后，会有极大的成就感，提高了学习兴趣，体验了数学学习的真谛。师生活动：教师引导学生列举15种可能出现的答案，判断是否满足古典概型的特征，利用概率公式求值。问题３：例３.同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？设计意图：这节课是在没有学习排列组合的基础上学习如何求概率，所以在教学中引导学生根据古典概型的特征，用列举法解决概率问题。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。通过观察对比，发现两种结果不同的根本原因是——研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。师生活动：（１）教师给出问题，学生思考求解。（２）教师将学生的结果汇总展示，学生给出的答案可能会有两种，然后引导学生分析原因，寻找解答中存在的问题。其中这两种答案分别对应了解题中的两种处理方法：把骰子标号进行解题和不标号进行解题，可以提示学生先把这两种方法下的基本事件全部列出来，然后验证是否为古典概型。（３）学生思考、讨论，列出两种方法下的基本事件，发现基本事件的总数不相等。（４）教师通过模拟和分析两种方式中每个基本事件的等可能性，引导学生发现在第二种情况下每个基本事件不是等可能的，不是古典概型，因此不能用古典概型计算公式。（５）师生共同总结解题步骤：①列举基本事件（验证基本事件是否有限，所有基本事件出现是否等可能）；②列举目标事件所包含的基本事件；③利用公式进行计算。问题４：把例３和例１作比较，你能找出它们的联系和区别吗？设计意图：通过比较，培养学生从不同的角度观察问题的能力，辩证地看待问题，加深对古典概型的理解。师生活动：学生观察、比较、交流，教师总结：例３中列举基本事件时考试是有序的、数字可以重复出现的，而例１是无序的、字母不可能重复出现的。例１也可以从有序的角度考虑：如我们也可以把所有的基本事件列为：（a,b）,(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c)（四）循序渐进，例题延伸问题１：假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了密码，问他到自动提款机上随机式一次密码就能取到钱的概率是多少？设计意图：选用具有现实意义的例题，激发学生的学习兴趣，培养其运用数学知识解决实际问题的能力。师生活动：教师要引导学生注意题目的前提是“完全忘记了自己的储蓄卡密码”，在这种前提下才是古典概型问题，才能用古典概型公式解决问题。学生思考、讨论、交流，在教师的指导下各自解题。教师对学生的结果进行评价和完善，同时让学生理解为什么自动取款机不能无限制地让用户试密码，用身份证上的号码作密码不安全等现象。问题２：某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大