“哥德巴赫猜想”讲义(第12讲)

1“哥德巴赫猜想”讲义（第12讲）“哥德巴赫猜想”证明（7）主讲王若仲第11讲我们讲解了核心部分的定理1，这一讲我们讲核心部分的定理2。定理2：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，…，pt；那么集合{pi，2pi,3pi，4pi，5pi，…，mipi}∩{pj，2pj,3pj，4pj，5pj，…，mjpj}∩…∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，…，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，…，msps}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}∩…∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。其中pi，pj，…，pr，ps为两两互不相同的奇素数，且均小于√2m；mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，…，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。2证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mipi+2pi=2pi+hi，…，（2m-2pi）=2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1=（mi-1）pi+2m-mipi=（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），…，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我们令2m-mjpj=hj；…；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），…，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，…，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），…，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），…，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；…；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），…，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡hi（modpi）；集合{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；…；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；3集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj…prps同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，…，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。那么同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解总可以转化为同余方程y≡k（modpipj…prps）的解,k为小于pipj…prps的正整数，且k=2m-pipj…prpsu，pipj…prpsu为小于偶数2m的最大正整数。那么2m-（u-1）pipj…prps=2m-pipj…prpsu+pipj…prps=pipj…prps+k，2m-（u-2）pipj…prps=2m-pipj…prpsu+2pipj…prps=2pipj…prps+k，…，（2m-2pipj…prps）=2m-[u-（u-2）]pipj…prps=（u-2）pipj…prps+2m-pipj…prpsu=（u-2）pipj…prps+k，（2m-pipj…prps）=2m-[u-（u-1）]pipj…prps=（u-1）pipj…prps+2m-pipj…prpsu=（u-1）pipj…prps+k；那么集合{（2m-pipj…prps），（2m-2pipj…prps）,（2m-3pipj…prps），（2m-4pipj…prps），（2m-5pipj…prps），…，（2m-upipj…prps）}={k，（pipj…prps+k），（2pipj…prps+k），…，[（u-2）pipj…prps+k]，[（u-1）pipj…prps+k]}。又从前面可知，偶数2m是同余方程y≡k（modpipj…prps）的一个4解,则偶数2m=upipj…prps+k。所以k对应pipj…prpsu，（pipj…prps+k）对应pipj…prps（u-1），（2pipj…prps+k）对应pipj…prps（u-2），（3pipj…prps+k）对应pipj…prps（u-3），…，[（u-1）pipj…prps+k]对应pipj…prps。故集合{pi，2pi,3pi，4pi，5pi，…，mipi}∩{pj，2pj,3pj，4pj，5pj，…，mjpj}∩…∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，…，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，…，msps}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}∩…∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}中正整数的总个数相等。故定理2成立。例5：证明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），5（100-91），（100-98）}中正整数的总个数相等。证明：因为集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。又因为集合{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整数的总个数与{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），6（100-84），（100-87），（100-90），（100-93）