“哥德巴赫猜想”讲义(第14讲)

1“哥德巴赫猜想”讲义（第14讲）“哥德巴赫猜想”证明（9）主讲王若仲第13讲我们讲解了核心部分的定理3，这一讲我们讲核心部分的定理4。定理4：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi´＜pj´，i´＜j´，i´、j´=1，2，3，…，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，…，pt；那么集合{pi，2pi,3pi，4pi，5pi，…，mipi}∩{pj，2pj,3pj，4pj，5pj，…，mjpj}∩…∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，…，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，…，msps}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，…，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，…，mupu}∩…∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，…，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，…，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}∩…∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，…，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，…，mupu}∩…∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，…，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，…，mwpw}中正整数的总个数相等。其中其中pi，pj，…，2pr，ps，pe，pu，…，pv，pw为两两互不相同的奇素数，且均小于√2m；mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mjpj为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，…，mrpr为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，msps为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mepe为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mupu为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，…，mvpv为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，mwpw为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。证明：对于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}，我们令2m-mipi=hi，因为mipi为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然hi＜pi，则2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mipi+2pi=2pi+hi，…，（2m-2pi）=2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1=（mi-1）pi+2m-mipi=（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），…，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我们令2m-mjpj=hj；…；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），…，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，…，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），…，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}={hs，3（ps+hs），（2ps+hs），…，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。因为前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；…；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），…，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}对应同余方程xi≡hi（modpi）；集合{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}对应同余方程xj≡hj（modpj）；…；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}对应同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}对应同余方程xs≡hs（modps）。由孙子—高斯定理可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有无穷多解,且这些解关于模M=pipj…prps同余，因为（pepu…pvpw，pipj…prps）=1，由同余性质定理1可知，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu…pvpw的乘积关于模M´=pipj…prpspepu…pvpw同余，又因为偶数2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶数2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，…，偶数2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶数2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶数2m也是同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一个解。在偶数2m范围内，同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解对应集合{h´，（pipj…prps+h´），（2pipj…prps+h´），4（3pipj…prps+h´），…，[（v-2）pipj…prps+h´]，[（v-1）pipj…prps+h´]}，其中vpipj…prps…pt为不大于偶数2m的最大正整数。显然集合{h´，（pipj…prps+h´），（2pipj…prps+h´），（3pipj…prps+h´），…，[（v-2）pipj…prps+h´]，[（v-1）pipj…prps+h´]}对应同余方程w≡h´（modpipj…prps）。我们设集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}∩…∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，…，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，…，mupu}∩…∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，…，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，…，mwpw}中的任一奇数均对应同余方程y≡a（modpipj…prpspepu…pvpw）的一个解，则a为小于pipj…prpspepu…pvpw的正整数，因为同余方程组xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），…，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解与pepu…pvpw的乘积关于模M´=pipj…prpspepu…pvpw同余，由同余性质定理1可知，a=pepu…pvpwh´，我们再设同余方程z≡h´（modpipj…prpspepu…pvpw），那么在偶数2m范围内，同余方程z≡h´（modpipj…prpspepu…pvpw）的所有解对应的集合为{h´，（pipj…prpspepu…pvpw+h´），（2pipj…prpspepu…pvpw+h´），（3pipj…prpspepu…pvpw+h´），…，[（u-2）pipj…prpspepu…pvpw+h´]，[（u-1）pipj…prpspepu…pvpw+h´]}，其中upipj…prpspepu…pvpw为不大于偶数2m的最大正整数；显然pepu…pvpwh´＜5pipj…prpspepu…pvpw，所以在偶数2m范围内，同余方程y≡a（modpipj…prpspepu…pvpw）的所有解对应的集合为{a，（pipj…prpspepu…pvpw+a），（2pipj…prpspepu…pvpw+a），（3pipj…prpspepu…pvpw+a），…，[（u-2）pipj…prpspepu…pvpw+a]，[（u-1）pipj…prpspepu…pvpw+a]}，显然（u-1）pipj…prpspepu…pvpw+pepu…pvpwh´＜2m。所以a对应pipj…prpspepu…pvpwu，（pipj…prpspepu…pvpw+a）对应pipj…prpspepu…pvpw（u-1），（2pipj…prpspepu…pvpw+a）对应p1p2p3…pt（u-2），（3p1p2p3…pt+a）对应p1p2p3…pt（u-3），…，[（u-1）pipj…prpspepu…pvpw+a]对应pipj…prpspepu…pvpw。所以集合{pi，2pi,3pi，4pi，5pi，…，mipi}∩{pj，2pj,3pj，4pj，5pj，…，mjpj}∩…∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，…，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，…，msps}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，…，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，…，mupu}∩…∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，…，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，…，mwpw}中正整数的总个数与集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），…，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），…，（2m-mjpj）}∩…∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），…，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），…，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，…，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，…，mupu}∩…∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，…，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，…，mwpw}中正整数的总个数相等。故定理4成立。参考文献[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版[3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版6[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2