“哥德巴赫猜想”讲义(第4讲)

1“哥德巴赫猜想”讲义（第4讲）介绍求证“哥德巴赫猜想”新方法（1）主讲王若仲这一讲我们主要阐述解决“哥德巴赫猜想”最新的基本思想方法，首先我们回顾一下2000多年前埃拉托斯特尼筛法，埃拉托斯特尼筛法可以用来寻找一定范围内的素数（比如说m这个数，m这个数不是太大）：操作的程序是先将第一个数2留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的3留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的5留下，将它的倍数全部划掉，┅，如此直到没有可划的数为止。例如在100内进行这样的操作，可得素数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。我们暂且把前人的这种筛法称为埃拉托斯特尼顺筛。就是通过埃拉托斯特尼顺筛，能够把某个很大的偶数M范围内的素数筛出来，也未必能确定不大于偶数M的所有偶数均可表为两个奇素数之和。埃拉托斯特尼顺筛实际上就是筛出偶数M范围内的所有偶数和所有奇合数。如果我们在埃拉托斯特尼顺筛的基础上，再配合另一种筛法，我们暂且把这种筛法称为埃拉托斯特尼逆筛，对于偶数M范围内的所有正整数，通过埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛配合筛出后，一定能够确定偶数M能否表为两个奇素数之和。对于埃拉托斯特尼逆筛，我们下面一一讲解。现在我们先举例说2说埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛配合筛法的妙处在那，以偶数100和104为例来阐述，因为“哥德巴赫猜想”针对的是奇素数，而奇素数是从奇数中分离出来的概念，所以我们就排出偶数的情形，只考虑奇数的情形。对于偶数100以内的全体奇数，首先进行埃拉托斯特尼顺筛：（1）筛出3的倍数，可得集合A1={1，3，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61，65，67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97}。（2）在集合A1中筛出5的倍数，可得集合A2={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67，71，73，77，79，83，89，91，97}。（3）在集合A2中筛出7的倍数，可得集合A3={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97}。偶数100以内的全体奇数，经过埃拉托斯特尼顺筛后，可以得出这样的结论：满足“奇合数+奇合数=100”中的全体奇合数，满足“奇合数+奇素数=100”中的全体奇合数，满足“1+奇合数=100”中的奇合数，完全被筛除。因为区间[√100，100]以内的任一奇合数均能被奇素数3，5，7中的一个奇素数整除，这种情形扩展开来的一般情形完全可以证明，证明留在后面讲。其次进行埃拉托斯特尼逆筛：3（4）在集合A3中筛出集合{（100-9），（100-15），（100-21），（100-27），（100-33），（100-39），（100-45），（100-51），（100-57），（100-63），（100-69），（100-75），（100-81），（100-87），（100-93），（100-99）}={91，85，79，73，67，61，55，49，43，37，31，25，19，13，7，1}中的奇数，可得集合A4={3，5，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89，97}。（5）在集合A4中筛出集合{（100-21），（100-35），（100-49），（100-63），（100-77），（100-91）}={79，65，51，37，23，9}中的奇数，可得集合A5={3，5，11，17，29，41，47，53，59，71，83，89，97}。（6）因为100含有奇素数因子5，所以奇素数5要直接筛出。最后得到集合A6={3，11，17，29，41，47，53，59，71，83，89，97}。再经过埃拉托斯特尼逆筛后，可以得出这样的结论：满足“奇合数+奇素数=100”中的全体奇素数，满足“1+奇素数=100”中的奇素数，完全被筛除。显然偶数100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53。下面我们为什么还要以偶数104为例来阐述呢？为了筛出的最大化，也就是极限的情形，因为偶数104均不含有奇素数因子3，5，7；这样就达到了筛出的最大化。其实为了解决无穷的情形，我们必须从极限这一基本点着手，在无穷多的偶数中，确定某一偶数满足筛除的最大化（筛除的极限情形），解决了极限成立的情形，其它情形显然成立。数学理论中通常采用这种方法解决无穷的问题。4对于偶数104以内的全体奇数，首先进行埃拉托斯特尼顺筛：（ⅰ）筛出3的倍数，可得集合B1={1，3，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61，65，67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97，101，103}。（ⅱ）在集合B1中筛出5的倍数，可得集合B2={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67，71，73，77，79，83，89，91，97，101，103}。（ⅲ）在集合B2中筛出7的倍数，可得集合B3={1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103}。其次进行埃拉托斯特尼逆筛：（ⅳ）在集合B3中筛出集合{（104-9），（104-15），（104-21），（104-27），（104-33），（104-39），（104-45），（104-51），（104-57），（104-63），（104-69），（104-75），（104-81），（104-87），（104-93），（104-99）}={95，89，83，77，71，65，59，53，47，41，35，29，23，17，11，5}中的奇数，可得集合B4={1，3，7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97，101，103}。（ⅴ）在集合B4中筛出集合{（104-15），（104-25），（104-35），（104-45），（104-55），（104-65），（104-75），（104-85），（104-95）}={89，79，69，59，49，39，29，19，9}中的奇数，可得集合B5={1，3，7，13，31，37，43，61，67，73，97，101，103}。（ⅵ）在集合B5中筛出集合{（104-21），（104-35），（104-49），5（104-63），（104-77），（104-91）}={83，69，55，41，27，13}中的奇数，可得集合B6={1，3，7，31，37，43，61，67，73，97，101，103}。因为偶数104不含有奇素数因子3，5，7；所以奇数1和103要直接筛出。最后得到集合B7={3，7，31，37，43，61，67，73，97，101}。显然偶数104=3+101=7+97=31+73=37+67=43+61。为了解决无穷的问题，一般情形下，我们设定一个非常大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N；并且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，…，pt，为了解保奇素数p1，p2，p3，…，pt均要被筛除，我们令集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），…，（2m-pt）}中的奇数均为奇合数；因为偶数2m=（2m-p1）+p1，2m=（2m-p2）+p2，2m=（2m-p3）+p3，…，2m=（2m-pt）+pt。因为这样的情形在无穷多的偶数中是必然存在的。如果我们设集合A={1，3，5，7，9，…，（2m-3），（2m-1）}，又设集合A1={p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}，集合A1´={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），…，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}，集合A2´={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），…，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}，集合A3´={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），…，[2m-（2m3-1）6p3]}，…，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}，集合At´={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），…，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，…，奇数（2mt-1-1）pt-1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。对于偶数2m以内的全体奇数，首先进行埃拉托斯特尼顺筛：〈1〉在集合A中筛除属于集合A1中的奇数，得到集合B1；〈2〉在集合B1中筛除属于集合A2中的奇数，得到集合B2；〈3〉在集合B2中筛除属于集合A3中的奇数，得到集合B3；┇〈t-1〉在集合Bt-2中筛除属于集合At-1中的奇数，得到集合Bt-1；〈t〉在集合Bt-1中筛除属于集合At中的奇数，得到集合Bt。其次进行埃拉托斯特尼逆筛：（1）在集合Bt中筛除属于集合A1´中的奇数，得到集合E1；（2）在集合E1中筛除属于集合A2´中的奇数，得到集合E2；（3）在集合E2中筛除属于集合A3´中的奇数，得到集合E3；┇（t-1）在集合Et-2中筛除属于集合At-1´中的奇数，得到集合Et-1；〈t〉在集合Et-1中筛除属于集合At´中的奇数，得到集合Et。7最后在集合Et筛除奇数1和（2m-1）得到集合H，如果能判定集合H确实有奇数，那么集合H中的奇数必定为奇素数，同时能判定偶数2m可表为两个奇素数之和。参考文献[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版[3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社）1983年2月第1版二〇一四年四月十二日