“小学数学基本思想”解读

“小学数学基本思想”解读刘玉和《数学课程标准》（2011版）在总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验……”把“基本思想”作为“四基”之一，这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位。那么，什么是数学基本思想？数学“基本思想”蕴涵在教材的哪些内容之中？教学中怎样帮助学生获得“基本思想”呢？一、什么是数学基本思想？数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。史宁中教授指出：基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些特征表现在日常的生活之中。这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。1、什么是抽象抽象是在思维中抛开对象的非特有、非本质属性，从中抽取对象的特有属性或本质属性的方法。数学中抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。通过抽象得到数学的基本概念，这些基本概念包括：数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号以及刻画对象之间关系的运算方法。例如：人们经过长期的实践，把1个鸡蛋、1只羊、1头牛……抽象成数字“1”符号，继而形成了自然数，并且用十个符号和位数表示。后来又抽象出了数之间的大小、运算关系。至于图形与图形关系的抽象最明显的体现是构成几何学的基本要素的“点、线、面”就是抽象的结果。2、什么是推理所谓推理，是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，其中命题是指可供是否判断的语句；所谓有逻辑的推理，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理。合情推理是从已有事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果的思维过程。合情推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论；类比推理由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。因此，通过合情推理得到的结论是或然的。人们借助合情推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，这便是所说的“看”出数学结果，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向。便于探索思路、发现结论。例如：（三角形的内角和180度）演绎推理。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理。因此，通过演绎推理得到的结论是必然的。演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过推断得到的结论，这便是数学的“证明”，通过证明得到的结论是正确的，但不能使命题的内涵得到扩张。例如：乘积是1的两个数互为倒数，因为3×1/3=1，所以3和1/3互为倒数。注意：不可能把抽象和推理截然分开：抽象的过程要依赖推理；而两种形式的推理、特别是合情推理的过程要依赖抽象。3、什么是模型数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。数学模型思想是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁。通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事。例如：小学两个典型的模型：路程=速度×时间总价=单价×数量二、小学阶段主要的数学思想有哪些？抽象、推理和模型是数学的基本思想，是最高层面的思想，在实践中又派生出很多与具体内容结合的具体思想。在小学阶段，具体数学思想主要有符号化思想、化归思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、数形结合思想、统计与概率思想等等。（一）符号化思想1、符号化思想的概念。数学符号是数学的语言，数学世界时一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用：因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。2、符号化思想的具体应用。知识领域知识点具体应用应用拓展数与代数数的表示阿拉伯数字：0~9中文数字：—、+百分号：%‰负号：—用数轴表示数数的运算+、—、×、÷、（）、〔〕a2(平方)、b3(立方)大括号：｛｝数的大小关系=、≈、＞、＜≤、≥、≠运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac方程ax+b=c数量关系时间、速度和路程：S=vt数量、单价和总价：a=np正比例关系：y／x=k反比例关系：xy=k用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系图形与几何用字母表示计量单位长度单位：km、m、dm、cm、mm面积单位：km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公顷)体积单位：m3、dm3、cm3容积单位：L（升）、mL（毫升）质量单位：t、kg、g用符号表示图形用字母表示点：三角形ABC用符号表示角：∠1、∠2、∠3、∠4△ABC线段AB射线c、直线l两线段平行：AB∥CD两线段垂直：AB⊥CD◇ABCD用字母表示公式三角形面积：S=1／2ab平行四边形面积：S=ah梯形面积：S=1／2（a+b）h圆周长：C=2πr圆面积：S=πr2长方体体积：V=abc正方体积：V=a3圆柱体积：V=sh圆锥体积：V=1／3sh统计与概率统计图与统计表用统计图表述和分析各种信息可能性用分数表示可能性的大小符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一，教师和学生无时无刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点。（1）在思想上引起重视。《数学课程标准》把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。因此，教师在日常教学中应给予足够的重视。（2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中，要明确符号的具体应用，并纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解教学符号化的模型，并进行解释和应用。(3)引导学生认识符号的特点。让学生逐步明确，数学符号不仅可以表示数、数量关系，还可以参与运算和推理证明。理解数学符号的高度概括性和简捷性。（4）符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应用贯穿于数学学习的整个过程中，学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。例如：教学“甲乙两个数的和是58，甲数比多36。求甲乙各是多少？”这样的问题，当学生已经掌握这类问题的特点和解答方法之后，可以设计这样的练习题：A+B=18A-B=2求：A=？B=？（二）化归思想1、化归思想的概念。人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。2、化归所遵循的原则。化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。3、化归思想的具体应用。知识领域知识点应用举例数与代数数的意义整数的意义，用实物操作和直观图帮助理解小数的意义：用直观图帮助理解分数的意义：用直观图帮助理解负数的意义：用数轴等直观图帮助理解四则运算的意义乘法的意义：若干个相同的数相加的一种简便算法除法的意义：乘法的逆运算整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法小数加减法：小数点对齐，然后按照四则运算的法则整数的方法进行计算小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点小数除法：把除数转化为整数，基本按照整数的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。分数加减法：异分母加减法转化为同分母加减法分数除法：转化为分数乘法四则运算各部间的关系a+b=cc-a=bab=ca=c÷b简便计算利用运算定律进行简便计算方程解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）解决问题的策略化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系，帮助理解。化实际问题为数学问题化一般问题为特殊问题化未知问题为已知问题图形与几三角形内角和通过操作把三个内角转化为平角何多边形的内角和转化成三角形求内角和面积公式正方形的面积：转化为长方形求面积平行四边形求面积：转化成长方形求面积三角形的面积：转化为平行四边形求面积梯形的面积：转化为平行四边形求面积圆的面积：转化为长方形求面积组合图形面积：转化为求基本图形的面积体积公式正方体的体积：转化为长方体求体积圆柱的体积：转化为长方体求体积圆锥的体积：转化为圆柱求体积统计与概率统计图和统计表运用不同的统计图表述各种数据可能性运用不同的方式表示可能性的大小例如：《组合图形面积》一课就充分体现了“化归思想”。（三）方程和函数思想1、方程和函数思想的概念。方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系。（1）方程思想。含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知数的对立统一。(2)函数思想。设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围b叫做值域。函数思想体现了运动变化的、普遍性的观点。2.方程和函数思想的具体运用.小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决,在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都可以通过方程解决,方程思想是小学思想的重要思想,其中一元一次方程是小学数学的必学内容,在小学数学里没有学习函数的概念,但是有函数思想的渗透,与正比例函数和反比例函数最接近的正比例函数和反比例函数是小学数学的必学内容.另外,在小学数学的一些知识中也会渗透函数思想,如数与数的一一对应体现了函数思想.方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽带.小学数学中方程和函数思想的应用如下表.思想方法知识点应用举例方程思想方程用一元一次方程解决整数