“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法(张志礼)

1例谈“抛物线与最大面积三角形”的解题思想方法在中考数学试题中，压轴题多数是以综合题的形式出现。有些试题综合了直线与抛物线、三角形与抛物线、四边形与抛物线以及圆与抛物线的位置、面积的大小以及点、直线或圆是否存在或唯一等诸多动态探索性的问题，在中考试题中占有一定的比重，包含的知识点多，要求考生必须灵活运用基础知识及各种数学技能去分析和解决问题。本文就近年来中考题中的“抛物线与最大面积三角形”为例，浅析它的解题思路及解题方法。【例1】：如图（1），已知抛物线cbxxy2经过点（1，-5）和（-2，4）。（1）求这条抛物线的解析式。（2）设此抛物线与直线xy相交于点A、B(点A在点B的右侧)，平行于y轴的直线mx（150m）与抛物线交于点M，与直线xy交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。浅析：本题综合了一次函数与二次函数（直线于抛物线）、二元一次方程组与二元二次方程组以及三角形等有关基础知识。考察的知识点多，基础性强，解题的思路清晰，难度中等。问题（1）求抛物线的解析式的方法有多种，这里只要根据题意解6cb和02cb组成的二元一次方程组得2b，4c，就可确定抛物线的解析式422xxy。问题(2)只要将mx代入xy就可以确定点N的坐标N（m，m），同样的方法将mx代入422xxy可确定点M（m，422mm），∵150m，∴PN=m=m，MP=422mm=422mm，∴MN=PN+MP=432mm。问题（3）中直线mx（150m）是一条平行于y轴且关于字母m的动直线，由于直线mx的变化而决定点M位置的变化，但点O、B的位置是确定的。是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？可假设存在m的值，使△BOM的面积S最大，先将△BOM的面积S用含字母m的代数式表示出来，观察、分析这OCmxBxyNA图(1)PyMx2个代数式的特征，从中发现。这里需要先求出点B的坐标，将直线xy代入抛物线422xxy，解一个一元二次方程0432xx，得11x，42x，由点A、B的位置确定点B的横坐标为4x，代入xy得点B的坐标为B（4，4），过点B作BC⊥MN于点C，则BC=4－m,OP=m,所以△BOM的面积S为S=BCMNOPMN2121=2(432mm)=－2225)23(2m。观察这个等式易知，它是一个由自变量m关于面积S的二次函数，根据二次函数的性质，问题变得简单明了。∵－2＜0，∴当m=23时，S有最大值225。【例2】：已知：如图，抛物线caxaxy22（0c）与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为A（4，0）。（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为D（2，0），问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。浅析：本题是一道较为典型的综合探索题。不仅包含的知识点多，同时蕴含了诸多数学思想方法。它集函数、几何、计算、判断及证明等于一体，要求考生不仅需要灵活运用数学基础知识，同时需要运用各种数学技能以及具备一定的解题经验。不仅考察学生的思维，同时考察学生分析、解决问题的能力。试题的难度较大。问题（1）是非常基础的知识，函数表达式中只有两个待定字母a和c，因此只要将已知点A（4，0）、C（0，4）代入抛物线解析式caxaxy22，解一个二元一次方程组便可很快求出抛物线的解析式为4212xxy。问题（2）中点Q是线段AB上的动点，在QE∥AC的条件下，当点Q运动到某一位置时，存在一个最大面积三角形QCE，要求出点Q的坐标（横坐标），它的指导思想与上述例一相同。从图上观察，显然△QCE的面积可以用△BQC与△BQE面积的差表示。根据问题（1），易求点A、C、B的坐标，即令04212xx，得21x，42x，由点A、B的位置得A(4,0),B(-2,0),令0x，得4y，∴C(0,4)。设点Q的坐标为Q（m，0）（-2≤m≤4），过点G作EG⊥x轴于点G，OGBlADMQCyxEFP图(2)3于是得BACCBQCQESSS=EGBQCOBQ2121,这里CO已知，BQ可用含m的代数式表示，EG可通过相似三角形的相似比等于对应高的比，即根据相似三角形中的比例线段求出（不要去求点E的坐标，麻烦）。∵AB=6,BQ=2m，CO=4，QE∥AC,由△BQE∽△BAC,得BABQCOEG，即624mEG，∴342mEG。∴BACCBQCQESSS=EGBQCQBQ2121=)3424)(2(21mm=3832312mm=3)1(312m.又∵－2≤m≤4，∴当m=1时，CQES有最大值为3，此时点Q的坐标为Q（1，0）。问题（3）存在。在△ODF中，①、若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),∴AD=OD=DF=2,又在Rt△AOC中，OA=OC=4,∴∠OAC=45,∴∠DAF=∠OAC=45,∴∠ADF=90,此时点F坐标为F（2，2），由24212xx，得511x，512x，此时点P的坐标为：)2,51(P或)2,51(P。②、若FO=FD,过点F作FM⊥x轴于点M，由等腰三角形的性质得：,3,121AMODOM∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3,∴点F的坐标为F（1，3），由34212xx，得311x，312x，此时点P的坐标为：)3,31(P或)3,31(P.③、若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90,∴AC=24∴点O到AC的距离为22，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形。综上所述，所求点P的坐标为：)2,51(P或)2,51(P或)3,31(P或)3,31(P.通过上述两例解题思路及方法的简单分析，有如下几点体会：（1）、掌握基础知识是重要的，但更重要的是要灵活运用，将基础知识融会贯通，做到活学活用。（2）、在平时的学习过程中，需要逐步掌握各种数学解题技能，不断积累解题经验。在解决某一数学习题时，尝试着以不同的数学思想方法作指导，去分析、探索，就会发现有难与易、繁与简等不同的解题方法，有助于发展思维，提高解题技能。（3）、许多几何问题可以运用代数的知识解决（当然许多代数问题同样也可以用几何知识解决），这是一条重要的数学思想方法（数形结合思想）。（4）、在解决数学问题时，我们总是将未知的、不熟悉的知识朝向我们已知的、熟悉的知识方向思考。如本文中的“最大面积三角形”，由于三角形与二次函数综合在一起，而我们4所熟知的是二次函数有最大值、最小值，于是我们自然会想到，三角形的面积能否用题中已知的量表示成一个二次函数的形式？正是这样的思考目标，使得问题得以迎刃而解。（5）、在一些与二次函数（抛物线）有关的四边形、圆等几何习题中，根据具体条件，灵活运用二次函数的性质也可以求出几何量的最大值（最小值）。（6）数形结合思想、转化思想、化归思想是解决初中数学问题常用的思想方法。参考文献：1、【例1】：2008年海南省中考试题；2、【例2】：2008年四川重庆市中考试题。