“斜交分解法”在高中物理中的应用

“斜交分解法”在高中物理中的应用—’08备考综合热身辅导系列山东平原一中魏德田253100我们都知道，过一定点做出不相垂直的两个坐标轴，可组成平面斜交坐标系；而应用平行四边形（或三角形）定则，把矢量向不相垂直的两直线方向分解，叫做斜交分解。在高中物理中，利用矢量的“斜交分解法”（以下简称“斜分法”）则可解决许多极有价值的物理问题。一、用“斜分法”解物体的平衡问题[例题1]如图—1所示，重力为G的球放在倾角为α的光滑斜面上，在斜面上有一光滑且不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使挡板与斜面的夹角β缓慢增大，试分析在此过程中球分别对挡板、斜面的压力大小如何变化。[解析]首先，以球心为坐标原点，建立如图—2所示的平面斜角坐标系Oxy。由平衡条件推出“诸力平衡时沿任意两条斜交轴线的合力均为零”（以下称“推论”），可得②GN①GN2211在三角形OGG2中，根据正弦定理可得③GGG)180sin(sinsin21联立①②③式，可得⑤GGSN④GN)coscot(sinsin)sin(sinsin21当由挡板与斜面的夹角β[（180°-α）＞90°＞β＞0]缓慢增大时，1＞sinβ＞0或1＞sinβ＞sinα，故由④式可知板对球的弹力N1先减小后增大，其方向也在变化；当β为直角时，可得N1min=Gsinα的极小值。同理，可得，-cotα＜cotβ＜∞，故由⑤式可知斜面对球的弹力一直减小，其方向亦保持不变；当β为直角时，可得N2=Gcosα。[点拨]应用说明，“斜分法”解决此类“平衡问题”的步骤：第一，确定研究对象，对其作受力分析；第二，建立平面斜交坐标系Oxy,使尽可能多的力分布于两轴上；第三，把不在轴上的力分别向两轴做斜交分解——（注：非正交投影）；第四，分别在两轴应用平衡条件求出合力的两个分量，建立方程组Fx=0，Fy=0；第五，根据正（或余）弦定理、拉密αβ图—1αβ图—2N1N2GG2yxoG1公式、或合力的计算公式等等求解。[例题2]（高考模拟）如图—3（左）所示，用细绳悬挂两个质量为m、2m,电荷量分别为-q、+q的小球1、2。现在该装置所在区域施加一与水平成30°角、斜向右上的匀强电场E，问：该装置平衡状态属于图—3（右）中的那一个？若电场强度E=mg/q，设上、下两段细绳所受的张力大小为T1、T2，试求它们的大小和方向？[解析]为简便起见，我们先看图—4（右C）的情况。如图—4所示，沿竖直、与水平成30角两方向建立平面“斜交坐标系”Oxy。先对系统作“整体”分析，由“推论”可得②qEqEFF①gmmT0)(0)2(121显见，上段细绳对球1的拉力T1=3mg，其方向是竖直向上的。进一步分析，小球2在此种情况下亦能保持平衡。因此，该装置平衡状态属于图—3（右）中的C.再对小球2作“隔离”分析,如图—5所示。由“推论”容易得⑤qmgE④mgT③TqEyx02022在三角形o2T2T2y中，显然α=60°。设T2与竖直向上成β角，根据正弦定理、余弦定理，可得⑦mgTTmgT⑥TTXxx60cos4)2(60sinsin2222222联立③⑤⑥⑦式，即可求出3032mgT[点拨]此例属于静电场中的连接体问题。类似上例处理，且于解题中“先整体后隔离”分析受力，不但应用力的“斜分法”、平衡的“推论”，又应用了正弦定理、余弦定理。还应说明，亦可由④式写出正弦定理的相应比例式求解，但由于求β角的数学运算比较麻烦而不取。二、用“斜分法”解匀变速运动问题[例题3]如图—6所示，曲线为带电量为+q、质量为m的小球，在场强为E、水平方向ABCD图—3？m1gm2gT1T2T2F2F1xy图—4图—560°m2gF2T2T2XyxT2yO2αβ的的匀强电场中做抛体运动的轨迹，某时刻在P点的速度为v0、与水平方向成23°角，经时间t到达Q点。已知E=mg3/4q,试求：⑴速度改变的大小和方向；⑵速度v的大小和方向。[解析]⑴首先，分析可知小球在水平方向的电场力qE、竖直向下的重力mg的作用，其合力F为两力的矢量和，如图—7所示。设合力与水平方向成θ角，由勾股定理、几何关系得③qmgE②qEmg①mgqEF43tan)()(22又，设此过程的速度改变为v（参见图—6），根据动量定理可得④vmFt由①②③④式，即可求出53.45⑤gtv⑵显然，速度v可“斜交分解”为初速度v0、速度改变△v；设初、末速度v0、△v之间的夹角为β，由数学知识可得，⑥53在三角形Qv△v中，设速度v与△v之夹角为，由合力计算公式（或余弦定理等）又得⑧vvv⑦vvvvvcossintancos2)(000220从而，由即可求出最后结果.3252tan435)45(0010220vgtvgtvgtvv其中，指末速度v与速度改变△v（亦即合力）的夹角。进而，可得末速度v与水平方向的夹角0013252tan5353vgtv[点拨]此例把“正交合成”与“斜交分解”结合起来应用。先“正交合成”电场力qE、重力mg求出其合力，作为等效重力对待；再把末速度v斜交分解，利用合力计算公式（或余弦定理等）来解决。[例题4]如图—8所示，一物体在三段细绳的共同作用下，竖直向上以加速度a做匀加qEmgF合θ图—7Om⒉⒈⒊图—8v0vv0△vP2Q2αβ图—6α速运动。若细绳1、2与竖直方向分别成α、β的任意角，物体的质量为m，试求:三段细绳承受拉力各为多大？[解析]首先，如图—9所示，三段细绳1、2、3对结点的拉力分别为F1、F2和F3，F则为F1、F2的合力。分别对系统、结点O，根据牛二定律可得②FF①agmF3)(然后，由拉密公式又得③FFF)360sin(sinsin321最后，联立①②③式，即可求出).()sin(sin)()sin(sin)(321agmFagmFagmF[点拨]此例先“整体”分析，应用牛二定律求出竖直向上的等效拉力F，该拉力即可“斜交分解”为F1、F2；继之，再对结点O“隔离”分析，最后则应用了拉密公式。三、用“斜分法”解变速圆运动问题[例题5]如图—10所示，用细绳拴一小球在竖直平面内做变速圆周运动。当小球在最低点P时的速度为v1，经过一段时间转过圆心角为，到达Q点速度为v2。试求：⑴小球的轨道半径和相应位移的大小；⑵合外力的冲量的大小和方向？[解析]⑴如图—11所示，依题意设小球对最低点的高度为h,。由机械能守恒定律（或动能定理）可得.2)(2122212221gvvhvvmmgh即：再设圆运动轨道半径（绳长）为L,以图内粗实矢量表示相应时间内的位移s。由线段间的几何关系可得.2sin2)cos1(LshL由此，我们即可求出以下结果v2v1图—10F1F2αβOa图—9F3Fv2v1图—11hL)cos1(2sin)()cos1(222212221gvvsgvvL⑵欲求合外力的冲量，先求速度变化。显然，末速度V2可“斜交分解”为初速度v1、速度变化△v，而△v所对的角等于半径转过的圆心角，如图—12所示。从而，由余弦定理可得cos2212221vvvvv进而，由动量定理求出合外力冲量的大小cos2212221vvvvmvmpI再设△V与初速度V1的夹角为β，则根据正弦定理又得sinsin2vv由此可以求出下式.cos2sinsin21222121vvvvv我们知道，合外力冲量与速度改变的方向总是一致的，因而，此式表示合外力冲量的方向。[点拨]对竖直平面内的变速圆运动而言，只有重力对小球做功而机械能守恒，结合线段的几何关系，解答第一步比较容易。而欲求合外力的冲量，则必须先作出矢量“斜交分解”（或合成）的示意图，然后用正弦或余弦定理求出“速度变化”、再应用动量定理即可顺利解决。v1v2△v图—12β