“方程的根与函数的零点”教学设计

“方程的根与函数的零点”教学设计(2)刘宗良一．内容和内容解析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理．函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标．由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题．这是函数与方程关系认识的第一步．零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件．如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f(a)·f(b)0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．定理的逆命题不成立．方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”．方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位．本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理．二．目标和目标解析通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间．1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系；2．正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；4．能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数；并会判断存在零点的区间（可使用计算器）．三．教学问题诊断分析学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质．教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用．以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难．学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间．教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系；而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况，通过研究：①函数图象不连续；②；③，函数在区间上不单调；④，函数在区间上单调，等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解．四．教学支持条件分析本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系；另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器．五．教学过程设计1．方程的根与相应函数图象的关系复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系：一元二次方程根的个数图象与轴交点个数图象与轴交点坐标意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．问题一、上述结论对其他函数成立吗？为什么？在《几何画板》下展示如下函数的图象：、、、、，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系。函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。2．函数零点概念对于函数，把使的实数叫做函数的零点．说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．3．方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题．这正是函数与方程思想的基础．4．零点存在性定理问题二、观察图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃？为什么？（假设气温是连续变化的）意图：通过类比得出零点存在性定理．给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.问题三、不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。在《几何画板》下结合函数的图象说明。问题四、若，函数在区间在上一定没有零点吗？问题五、若，函数在区间在上只有一个零点吗？可能有几个？问题六、时，增加什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点？在《几何画板》下结合函数的图象说明问题四、五、六。意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．5．例题：求函数的零点的个数．问题七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点．问题八、该函数有几个零点？为什么？意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．六．目标检测设计1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？x1234610f(x)20-5.5-2618-32.函数在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？3.利用函数图象判断下列方程有几个根（1）（2）4．指出下列函数零点所在的大致区间（1）（2）最后，师生共同小结（略）思考题：函数的零点在区间内有零点，如何求出这个零点？设计意图：为下一节“二分法”的学习做准备．2007-11-13人教网