“点差法”在解析几何题中的应用

1“点差法”在解析几何题中的应用东北师大附属中学2012.6.1朱屿在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为1122,,xyxy、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212xy，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解设弦的两个端点分别为1122,,,PxyQxy，PQ的中点为,Mxy.则221112xy，（1）222212xy，（2）12得：2222121202xxyy，1212121202xxyyyyxx.又121212122,2,2yyxxxyyyxx，40xy.弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为40xy（在已知椭圆内）.例2直线:50laxya（a是参数）与抛物线2:1fyx的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是.2解设1122,,AxyBxy、，AB中点,Mxy，则122xxx.:150laxy，l过定点1,5N，51ABMNykkx.又2111yx，（1）2221yx，（2）12得：2212121212112yyxxxxxx，1212122AByykxxxx.于是5221yxx，即227yx.弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为227yx（在已知抛物线内）.2求曲线方程例3已知ABC的三个顶点都在抛物线232yx上，其中2,8A，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由已知抛物线方程得8,0G.设BC的中点为00,Mxy，则AGM、、三点共线，且2AGGM，G分AM所成比为2，于是002281282012xy，解得00114xy，11,4M.设1122,,,BxyCxy，则128yy.又21132yx，（1）22232yx，（2）312得：22121232yyxx，121212323248BCyykxxyy.BC所在直线方程为4411yx，即4400xy.例4已知椭圆222210xyabab的一条准线方程是1x，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于AB、两点，若AB的中点为11,24C，求椭圆方程.解设1122,,AxyBxy、，则121211,2xxyy，且2211221xyab，（1）2222221xyab，（2）12得：2222121222xxyyab，221212221212112bxxyybxxayya，21221221AByybkxxa，222ab，（3）又21ac，2ac，（4）而222abc，（5）由（3），（4），（5）可得2211,24ab，所求椭圆方程为2211124xy.3求直线的斜率例5已知椭圆221259xy上不同的三点411229,,4,,,5AxyBCxy与焦点4,0F的距离成等差数列.（1）求证：128xx；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.（1）证略.（2）解128xx，设线段AC的中点为04,Dy.又AC、在椭圆上，22111259xy，（1）22221259xy，（2）12得：22221212259xxyy，1212121200998362525225xxyyxxyyyy.直线DT的斜率02536DTyk，直线DT的方程为0025436yyyx.令0y，得6425x，即64,025T，直线BT的斜率9055644425k.4确定参数的范围例6若抛物线2:Cyx上存在不同的两点关于直线:3lymx对称，求实数m的取值范围.解当0m时，显然满足.当0m时，设抛物线C上关于直线:3lymx对称的两点分别为51122,,PxyQxy、，且PQ的中点为00,Mxy，则211yx，（1）222yx，（2）12得：221212yyxx，1212120112PQyykxxyyy，又1PQkm，02my.中点00,Mxy在直线:3lymx上，003ymx，于是052x.中点M在抛物线2yx区域内200yx，即2522m，解得1010m.综上可知，所求实数m的取值范围是10,10.5证明定值问题例7已知AB是椭圆222210xyabab不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明设1122,,,AxyBxy且12xx，则2211221xyab，（1）2222221xyab，（2）12得：2222121222xxyyab，2121221212bxxyyxxayy，2121221212ABbxxyykxxayy.又1212OPyykxx，221ABOPbkka，22ABOPbkka（定值）.66处理存在性问题例8已知双曲线22112xy，过1,1B能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解假设这样的直线存在，设,PQ的坐标分别为1122,,,xyxy，则122xx，122yy，又2211112xy，（1）2222112xy，（2）12得：12121212102xxxxyyyy，121220xxyyPQ的斜率12122yykxx又直线l过,,PQB三点，l的方程为121yx，即21yx.但若将21yx代入22112xy整理得方程22430xx，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.