“点差法”韦达定理在解析几何题中的应用

1“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为1122,,xyxy、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.1求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212xy，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.例2直线:50laxya（a是参数）与抛物线2:1fyx的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是.2求曲线方程例3已知ABC的三个顶点都在抛物线232yx上，其中2,8A，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.例4已知椭圆222210xyabab2ac，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于AB、两点，若AB的中点为11,24C，求椭圆方程.3确定参数的范围例6若抛物线2:Cyx上存在不同的两点关于直线:3lymx对称，求实数m的取值范围..24证明定值问题例7已知AB是椭圆222210xyabab不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值..5处理存在性问题例8已知双曲线22112xy，过1,1B能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.点差法练习1、已知双曲线2212yx，过点(1,1)B能否作出直线m，使m与所给双曲线交于1Q，2Q且点B为线段12QQ的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。2、已知直线1yax和双曲线2231xy交于,AB两点，是否存在实数a，使,AB两点关于直线2yx对称？3、已知椭圆22221(0)xyabab，,AB是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px，求证：22220ababxaa34、已知椭圆13422yx，直线:l4yxm，如果椭圆C上总存在两点关于直线l对称，求m的取值范围。二.直线与二次曲线（韦达定理）例1、已知圆0622mxyx与直线032yx相交于,PQ两点，O为坐标原点，若OPOQ求m的值。例2、设直线l方程为1ykx，等轴双曲线222:(0)Cxyaa的中心在原点，右焦点坐标为(2,0)（1）求双曲线方程；（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点,AB，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示点M的坐标；（3）在第二小问的条件下，若设点(1,0)Q，求直线QM在y轴上截距的取值范围例3、已知椭圆22221(0)xyabab且短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且2a（1）求椭圆方程（2）直线l过点(0,2)P且与椭圆相交于,AB两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l方程。例4、直线2:kxyl与双曲线C.1322yx恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA（其中O为原点）.求k的取值范围.