将军饮马问题的拓展与应用

将军饮马问题的拓展与应用苍南县青华学校范叔阁2015/6/16看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏两点之间，线段最短爱护草坪一：走进数学故事白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。野云万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外，空见蒲桃入汉家。唐.李欣《古从军行》如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？河流ABA’c两点之间，线段最短二：探索数学本真费马最短时间原理：光是沿着光程为极值的路径传播的将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。变式一：思考，点p在直线L哪个位置的时候，有AP-BP最大？饮马问题的本质ABABPA’P异侧图1图2图1AB图2ABPB’P同侧应用1，如图，若A到直线L的距离AC是3KM，B到直线L的距离BD是1KM，并且C,D的距离为4KM，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小，并求这个最小值。LABCDA’PH法二：LABCDA’PXYE(0，3)(4，1)(0，-3)在直角坐标系中，有四个点A(-8，1),B(-4，5),C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD的周长最短时，求m/n变式一：ABCDA’B’变式二：如图，已知A（4,0），B（0，4），从点p（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射直线OB上，最后经直线OB反射又回到P点，则光线所经过的路程是（）（2013年湖南高考题）A:21033B:6C:25D:A在直角坐标系中，有四个点A(-8，1),B(-4，5),C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD的周长最短时，求m/n变式一：ABCD1,如何求AD的长度？E2,如何求AB的长度？3,已知点A(X1,Y1),B(X2,Y2)如何求AB的长度？2(2)1x表示哪两点的距离？求代数式的最小值22(2)1(5)25xx变式一：求函数的最小值226101050yxxxx应用二：三，探索拓展应用如果饮马人从图中的A点出发到笔直的河岸L去饮马，且沿河走一段路程a，然后再去B地，走什么样的路程最短呢？拓展1：ABCDCD=aB’A’饮马人走的路径是A---C—D--BEFEF=a如图，已知点A(3，4),点B的坐标（-1,1），在X轴上另取两点E,F（F在E的右侧），且EF=1.线段EF在X轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标。应用1：xyABEF如图，A,B两点位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且要在河上建一座桥，问把桥建在何处，才能使点A经过这座桥到B点最短？拓展2：河流河流宽度为XABB’BB’=XC如图，如果饮马人从点A出发，先到笔直的草地边的某一处饮马，再到笔直的河岸去饮马，然后回到B处，走什么样的路程最短。拓展3：ABA’B’CD饮马人走的路程是A---C---D---B草地河岸MN如图，,角内有一点P,PO=10,在角两边上有两点Q,R(均不同于点0)，1)求的周长最小值是?2)当周长最小时,的度数=（）045AB应用：PQRVQPRPQRVoABPQR总结归纳升华通过一系列的探索可知，将军饮马问题的本质：1),求最短线路问题，通过几何变换找到对称图形。2)把A,B两点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线3)利用“两点间线段最短”求解结束语今天我们共同经历了“饮马问题”拓展的探旅程，相信你会有所感触，请你延续这种学习方法和探索方式，你会发现数学其实挺好玩，你更会发现数学很有趣，数学也挺美。