2012年高三数学复习资料第三章基本初等函数(Ⅱ)第2讲--同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公

-1-1cscseccottancossin第2讲同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式★知识梳理1.同角三角函数的基本关系式的记忆法则（1）对角线上对应的函数互为倒数；（2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积；（3）阴影三角形中，上面二个顶点对应的函数的平方和等于下面一个顶点的平方。例如：22sincosxx1sincosxxtanx2．用同角三角函数的基本关系式求值时应注意：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin4cos41等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancot1(,)2kkZ；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：2cos1sin，22sin1cos，sincostan等。3.关于诱导公式（1）诱导公式(zk)角函数正弦余弦记忆口诀k2sincos函数名不变符号看象限－sin－cos－sincossin－cos2－sincos2cossin函数名不变符号看象限2cossin23－cos－sin23－cossin（2）求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．(3)诱导公式解决常见题型（A）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（B）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.-2-★重难点突破1.重点：掌握利用同角三角函数的关系式和诱导公式三角式化简，求值与证明等问题。2.难点：正确的使用同角三角函数的关系式和诱导公式。3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的关系，确定好符号，使问题获解。（1）.对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.问题1:化简：)()414cos()414sin(znnn错解：原式)]4(cos[)]4(sin[nn)4cos()4sin()4cos()]4(2sin[0)4cos()4cos(正解：原式)]4(cos[)]4(sin[nn（1）当)(12zkkn，时原式)]4(2sin[k+)]4(2cos[k)4sin()4cos()4cos()4cos(=0（2）当)(2zkkn，时原式)]4(2sin[k+)]4(2cos[k)]4sin(+)4cos(=0（2）要注意角的范围,防止符号取错.问题2:已知cot051cossin），则，（，__________错解：两边同时平方，由，与51cossin2512cossin得57cossin2549cossin4)cos(sincossin4coscossin2sin)cos(sin2222∴.cot53cos54sin，进而可求，解得：43cot或.cot54cos53sin，进而可求，解得：34cot所以cossin的值为正而导致错误.-3-正解：），，（，051cossin两边同时平方，有联立，与51cossin02512cossin求出，，53cos54sin∴43cot★热点考点题型探析考点1求值问题题型：利用公式求三角式的值［例1］（广东省执信中学2009届高三上学期期中考试）tan600°的值是（）A．33B．33C．3D．3【解题思路】由于6900超出了锐角的范围，故需先利用诱导公式进行化简．［解析］由tan6900＝tan（－300＋2×3600）＝tan（－300）＝－tan300＝33知应选A．【名师指引】应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．［例2］.(2007·韶关市高三摸底题)已知2tan，则)sin()2sin()cos()2sin(（）A、2B、－2C、0D、32【解题思路】联想到诱导公式及对同角三角函数公式解题解析:B[)sin()2sin()cos()2sin(coscoscossin2221tan12【名师指引】处理sin,cosxx的齐次式的问题，通常采用化切法，即将分子分母或等式两边同除以cosx的最高次幂化为tanx的关系式即可，这种题型高考中经常考。【新题导练】1.sin210（）A．32B．32C．12D．12解析．sin2100=1sin302，选D。2．(中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试)若tan2，则2sincoscossincos=.解析:原式=2tan11tan11tan=516-4-考点2化简与证明问题题型1：三角式的化简［例3］化简：)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000xxxxxx【解题思路】利用诱导公式及三角变换公式化简三角函数式[解析]原式000sin(180)1costan()tan(90)tan(90)sin()xxxxxxsin1tantan()sintantanxxxxxx【名师指引】化简三角函数式．化简是一种不指明答案的恒等变形，三角函数化为最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式．题型2：三角恒等式的证明例4.求证：22(1sin)(1cos)(1sincos)【解题思路】将右边展开进行因式分解.证明：右边2(1sincos)22sin2cos2sincos2(1sincossincos)2(1sin)(1cos)【名师指引】证明简单的三角恒等式．一般方法有三种：即由繁的一边证到简单的一边；证明左、右两边等于同一式子；证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立．在化简或证明三角函数式时常用的技巧有：（1）“1”的代换．为了解题的需要有时可以将1用“22sincos”代替．（2）切化弦．利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数．（3）整体代替．将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系．题型3：条件三角等式的证明例5.已知23sin2sin,tan3tan,cos8求证【解题思路】已知条件中含角,,待求结论只含,故考虑消元法证：由题设：22sin4sin①22tan9tan②①/②：22cos4cos9③-5-①+③：4cos9sin224cos9cos12283cos2【名师指引】等式中出现正弦、余弦和正切函数，一般采用“切化弦”的方法进行证明．若已知条件中的角多于待求结论中的角可考虑消元法.【新题导练】3．化简：sin()cos()sin()cos()222cos()sin()．解析:0［sin()cos()cossin22sincos()cos，sin()cos()sin(sin)2sinsin()sin，故原式＝sinsin0］4．已知：1tan2010,1tan求证：1tan22010cos2解：11sin21sin2tan2cos2cos2cos2cos2222(cossin)cossin1tan2010cossincossin1tan．5．求证：1tan1tancossincossin2122．解析：左边2222cossincossin2cossin222cossincossin1tan1tancossincossin右边．．★抢分频道基础巩固训练1．15cot15tan()A.2B.32C.4D.32解析：原式=22sin15cos15sin15cos152cos30cos15sin15sin15cos15sin30=32，选D2．是第一象限角，43tan，则sin（）A．54B．53C．54D．53-6-解析：B．3.（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知3sin()(2)tan()2()()cosfcos，则31()3f的值为（）A．12B．12C．32D．32解析：sincot313131()cos()cos()cos333cosffcos1cos(10)cos332选B4．(2008·广东省惠州市高三第二次调研考试)已知3,,sin25，则tan=．解析：由题意43cossintan54cos．[点评]本题考查同角三角函数公式的理解与运用5．若5cos(2)3且(,0),sin()2则_________解析：由cos(2)cos知5cos3又(,0),2故2sin()sin1cos=－236．求证：1tan1tancossincossin2122．证明：左边2222cossincossin2cossin222cossincossin1tan1tancossincossin右边．综合拔高训练7．已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值．[解析]（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；-7-（2）222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222．[点评]利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化．8．已知关于x的方程4x2－2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.解析：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=，∴cosα=sinβ∵方程4x2－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)2－4·4m=4(m－1)2≥0∴当m∈R，方程恒有两实根.又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=21m，cosα·cosβ=sinβcosβ=4m∴由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·4m=(21m)2解得m=±3当m=3时，cosα+cosβ=213＞0，cosα·cosβ=43＞0，满足题意，当m=－3时，cosα+cosβ=231＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.综上，m=310．已知51cossin，且0．（1）求cossin、cossin的值；（2）求sin、cos、tan的