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1/291.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点1.逻辑联结词“且”“或”“非”的含义2.含有逻辑联结词的命题真假的判断3.全称量词与全称命题4.存在量词与特称命题5.含有一个量词的命题的否定教学目标1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.教学重点全称命题、特称命题的否定及判断教学难点全称命题、特称命题的否定及判断2/29教学过程一、课堂导入正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维。常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具；在学习数学过程中需要准确全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用，所以逻辑用语在数学中也具有很重要的作用。而要正确的使用逻辑用语首要的就是准确的使用逻辑联结词.在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。为叙述简便，今后常用小写字母p、q、r、s、……，来表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）3/29二、复习预习1、四种命题的相互关系2、充分条件与必要条件及其判断方法4/29三、知识讲解考点1命题p∧q、p∨q、非p的真假判定pqp∧qp∨q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真5/29考点2全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．6/29考点3含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)7/29三、例题精析【例题1】【题干】(2013·长春名校联考)命题p：若a·b0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．非p为假命题D．非q为假命题8/29【答案】B【解析】∵当a·b0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝－x＋1，x≤0，－x＋2，x0，综上可知，“p或q”是假命题9/29【例题2】【题干】下列命题中是假命题的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．对任意x0，有lg2x＋lgx＋10C．△ABC中，AB的充要条件是sinAsinBD．对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数10/29【答案】选D【解析】对于A，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tanα＋tanβ，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg2x＋lgx＋1＝lgx＋122＋34≥340，因此选项B是真命题；对于C，在△ABC中，AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB(其中R是△ABC的外接圆半径)，因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝π2时，y＝sin(2x＋φ)＝cos2x是偶函数，因此选项D是假命题．11/29【例题3】【题干】命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．12/29【解析】有些可以被5整除的数，末位不是0【解析】省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.13/29【例题4】【题干】已知c0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．14/29【答案】C【解析】∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0c1.即p：0c1，∵c0且c≠1，∴非p：c1.又∵f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，∴c≤12.即q：0c≤12，∵c0且c≠1，∴非q：c12且c≠1.又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真．①当p真，q假时，{c|0c1}∩c|c12且c≠1＝c|12c1.②当p假，q真时，{c|c1}∩c|0c≤12＝∅.综上所述，实数c的取值范围是c|12c1.15/29四、课堂运用【基础】1．(2013·长沙模拟)设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是()A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真，q为假16/29解析：选C∵p或q为真⇒p、q中至少有一个为真；p且q为假⇒p、q中至少有一个为假，∴“命题p或q为真，p且q为假”⇒p与q一真一假．而由C选项⇒“命题p或q为真，p且q为假”．17/292．(2013·揭阳模拟)已知命题p：∃x0∈R，cosx0＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋10，则下列结论正确的是()A．命题p∧q是真命题B．命题p∧非q是真命题C．命题非p∧q是真命题D．命题非p∨非q是假命题18/29解析：选C命题p是假命题，命题q是真命题，∴p∧q是假命题，p∧非q是假命题，非p∧q是真命题，非q∨非p是真命题．19/293．已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－12；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是()A．p∧qB．p∨(非q)C．(非p)∧(非q)D．p∨q20/29解析：选D抛物线y＝2x2，即x2＝12y的准线方程是y＝－18；当函数f(x＋1)为偶函数时，函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称(注：将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数f(x＋1)的图象)，因此命题p是假命题，q是真命题，p∧q、p∨(非q)、(非p)∧(非q)都是假命题，p∨q是真命题．21/29【巩固】4．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|3”的否定是____________．22/29解析：全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3.答案：∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤323/295．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．24/29解析：当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知a0，Δ＝a2＋8a≤0，得－8≤a0.综上，－8≤a≤0.答案：[－8,0]25/29【拔高】6．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(非p1)∨p2和q4：p1∧(非p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q426/29解析：选Cp1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题．所以q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(非p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(非p2)为真命题．即真命题是q1，q4.27/297．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．28/29解：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.由a≤1，a≥1或a≤－2得a＝1或a≤－2故实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.29/29课程小结1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．