《2.14定积分与微积分基本定理》教案

1/29定积分与微积分基本定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点定积分的概念与几何意义微积分基本定理求定积分定积分的简单应用教学目标1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．教学重点微积分基本定理求定积分教学难点微积分基本定理2/29教学过程一、复习预习1.导数的概念2.导数与函数单调性、极值、最值的关系3/29二、知识讲解考点1定积分的概念在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．4/29考点2定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫baf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．5/29考点3定积分的基本性质①∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx.②∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx.③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx.6/29考点4微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．7/29三、例题精析【例题1】【题干】求下列定积分：(1)∫20|x－1|dx；(2)201－sin2xdx.8/29【解析】(1)|x－1|＝1－x，x∈[0，1x－1，x∈[1，2]故∫20|x－1|dx＝∫10(1－x)dx＋∫21(x－1)dx＝x－x22|10＋x22－x|21＝12＋12＝1.(2)201－sin2xdx＝20|sinx－cosx|dx＝40(cosx－sinx)dx＋24(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)40＋(－cosx－sinx)24＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.9/29【例题2】【题干】已知函数f(x)＝∫x0(cost－sint)dt(x0)，则f(x)的最大值为________．10/29【答案】2－1【解析】因为f(x)＝∫x02sinπ4－tdt＝2cosπ4－t|x0＝2cosπ4－x－2cosπ4＝sinx＋cosx－1＝2sinx＋π4－1≤2－1，当且仅当sinx＋π4＝1时，等号成立．11/29【例题3】【题干】如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为()A.23B.13C.12D.1412/29【答案】D【解析】由y＝14，y＝x2⇒x＝12或x＝－12(舍)，所以阴影部分面积S＝12014－x2dx＋112x2－14dx＝14x－13x3120＋13x3－14x112＝14.13/29【例题4】【题干】一物体在力F(x)＝100≤x≤23x＋4x2(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为()A．44JB．46JC．48JD．50J14/29【答案】B【解析】力F(x)做功为∫2010dx＋∫42(3x＋4)dx＝10x|20＋32x2＋4x42＝20＋26＝46.15/29四、课堂运用【基础】1.∫e11＋lnxxdx＝()A．lnx＋12ln2xB.2e－1C.32D.1216/29解析：选C∫e11＋lnxxdx＝lnx＋ln2x2e1＝32.17/292．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若∫30f(x)dx＝3f(x0)，则x0等于()A．±1B.2C．±3D．218/29解析：选C∫30f(x)dx＝∫30(ax2＋b)dx＝13ax3＋bx30＝9a＋3b，则9a＋3b＝3(ax20＋b)，即x20＝3，x0＝±3.19/293．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603mB.803mC.403mD.203m20/29解析：选Av＝40－10t2＝0，t＝2，∫20(40－10t2)dt＝40t－103t3|20＝40×2－103×8＝1603(m)．21/29【巩固】4．设a＝∫π0sinxdx，则曲线y＝f(x)＝xax＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．22/29解析：∵a＝∫π0sinxdx＝(－cosx)|π0＝2，∴y＝x·2x＋2x－2.∴y′＝2x＋x·2xln2＋2.∴曲线在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝4＋2ln2.答案：4＋2ln223/295．(2013·孝感模拟)已知a∈0，π2，则当∫a0(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.24/29解析：∫a0(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)|a0＝sina＋cosa－1＝2sina＋π4－1，∵a∈0，π2，∴当a＝π4时，2sina＋π4－1取最大值．答案：π425/29【拔高】6．求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．26/29解：由y＝x，y＝2－x，得交点A(1,1)；由y＝2－x，y＝－13x，得交点B(3，－1)．故所求面积S＝∫10x＋13xdx＋∫312－x＋13xdx＝23x32＋16x2|10＋2x－13x2|31＝23＋16＋43＝136.27/297．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．28/29解：设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为(x，y)，则∫x0(kx－x2)dx＝∫2x(x2－kx)dx，即12kx2－13x3|x0＝13x3－12kx2|2x，解得12kx2－13x3＝83－2k－13x3－12kx2，解得k＝43，即直线OP的方程为y＝43x，所以点P的坐标为43，169.29/29课程小结1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数，求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)．2．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．3．利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法，确定被积函数和积分上、下限．