《2.1函数及其表示》学案

1/232.1第一节函数及其表示》适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点1.函数的概念2.函数的三要素（定义域，值域，对应法则）3.其间的意义及表示4.解析法，列表法，图像法5.分段函数及其应用6.映射的概念学习目标1.了解构成函数的要素，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用.学习重点函数概念及其定义域、解析式、函数值、分段函数学习难点初等函数的图像、性质2/23学习过程一、复习预习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等的回顾3/23二、知识讲解考点1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：A→B按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射4/23考点2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．5/23考点3相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．6/23考点4函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．7/23考点5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．8/23三、例题精析【例题1】【题干】(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？①f1：y＝xx；f2：y＝1.②f1：y＝1，x≤1，2，1x2，3，x≥2；f2：③f1：y＝2x；f2：如图所示．(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()A．k1B．k≥1C．k1D．k≤1xx≤11＜x＜2x≥2y1239/23【答案】(1)①不同②同③同(2)A【解析】(1)①不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.②同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．(2)由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．所以Δ＝4(1－k)0，解得k1时满足题意.【总结】1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法：要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法：判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．10/23【例题2】【题干】给出下列两个条件：(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．11/23【解析】(1)令t＝x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又∵f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴4a＝4，4a＋2b＝2，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋3【总结】求函数解析式的常用方法：(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．12/23【例题3】【题干】已知函数f(x)＝2x＋1，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.12B.45C.2D.913/23【答案】C【解析】∵x1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，∴4a＝4＋2a，解得a＝2.【总结】解决分段函数求值问题的方法：(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．14/23【例题4】【题干】设函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0，若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)15/23【答案】选C【解析】①当a0时，∵f(a)f(－a)，∴log2alog12a＝log21a.∴a1a，得a1.②当a0时，∵f(a)f(－a)，∴log12(－a)log2(－a)＝log121－a.∴－a1－a得－1a0，故C项为正确选项．16/23四、课堂运用【基础】1．下列各组函数中，表示相等函数的是()A．y＝5x5与y＝x2B．y＝lnex与y＝elnxC．y＝x－1x＋3x－1与y＝x＋3D．y＝x0与y＝1x017/232．已知函数f(x)＝2x－2，x≥0，lg－x，x0，则f(f(－10))＝()A.12B.14C．1D．－1418/233．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝13x2－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋319/23【巩固】4．已知fx－1x＝x2＋1x2，则函数f(3)＝________.20/235．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的取值范围是________．21/23【拔高】6．已知f(x)＝x＋2，x≤－1，2x，－1x2，x22，x≥2，且f(a)＝3，求a的值．22/237．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)2x＋5.23/23课程小结