《2.9第九节函数与方程》学案

1/21第九节函数与方程适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点1.方程的根与函数零点的关系2.函数零点的判断方法3.二分法的概念4.用二分法求函数零点问题5.函数零点个数问题6.函数与方程的综合问题学习目标1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.学习重点函数的零点及二分法学习难点函数的零点及二分法2/21学习过程一、复习预习1.函数图像的作法2.函数图像的变换3/21二、知识讲解考点1函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根4/21考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个5/21考点3二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．6/21三、例题精析【例题1】【题干】(1)在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为()A.－34，－12B.－12，－14C.－14，0D.0，14(2)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g(x0)等于________．7/21【答案】(1)B(2)2【解析】(1)易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f－34＝e34－4×－34－3＝e340，f－12＝e12－4×－12－3＝e12－10，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－34，－12上；对于B，注意到f－120，f－14＝e14－4×－14－3＝e14－2414－20，因此在区间－12，－14上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f－140，f(0)＝－20，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－14，0上；对于D，注意到f(0)＝－20，f14＝e14－4×14－3＝e14－40，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间0，14上．(2)∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝1x＋2x20，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－10，f(e)＝lne－2e0，知x0∈(2，e)，∴g(x0)＝[x0]＝2.8/21【例题2】【题干】已知符号函数sgn(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，则函数f(x)＝sgn(x－1)－lnx的零点个数为()A．1B．2C．3D．49/21【答案】C【解析】依题意得，当x－10，即x1时，f(x)＝1－lnx，令f(x)＝0得x＝e1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0－ln1＝0；当x－10，即x1时，f(x)＝－1－lnx，令f(x)＝0得x＝1e1.因此，函数f(x)的零点个数为3.10/21【例题3】【题干】已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．11/21【解析】(1)法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，∴g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．法二：作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象如图：可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．12/21【例题4】【题干】(2012·福建高考)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，ab.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．13/21【答案】1－316，0【解析】由定义可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝2x－12－2x－1x－1，x≤0，x－12－2x－1x－1，x0，即f(x)＝2x2－x，x≤0，－x2＋x，x0.作出函数f(x)的图象，如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，则0m14.不妨设从左到右交点的横坐标分别为x1，x2，x3.当x0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，∴0x2x3x2＋x322，即0x2x314；当x0时，由2x2－x＝14，x0，得x＝1－34，∴1－34x10.∴0－x13－14.∴0－x1x2x33－116.∴1－316x1x2x30.14/21四、课堂运用【基础】1．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．015/212．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)16/213．已知函数f(x)＝15x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0x1x0，则f(x1)的值()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于017/21【巩固】4．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2012x＋log2012x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．18/215．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．19/21【拔高】6．若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．20/217．设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．21/21课程小结