《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(19)

一、选择题1．已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，那么一定有()A．an＋1≤bn＋1B．an＋1≥bn＋1C．an＋1bn＋1D．an＋1bn＋1【答案】B【解析】由已知条件并借助等差数列和等比数列的变形公式，可得an＋1＝a2n＋1＋a12，bn＋1＝b2n＋1×b1＝a2n＋1×a1，易得an＋1≥bn＋1，故选择B.2．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是()A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】依题意得a＋b＝x＋y，cd＝xy，故a＋b2cd＝x＋y2xy＝x2＋y2＋2xyxy≥2xy＋2xyxy＝4.故选择D.3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3【答案】C【解析】由a＋b＝2得ab≤a＋b22＝1，排除A、B.又a2＋b22≥a＋b22，可得a2＋b2≥2.故选择C.4．若a，b，c0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为()A.3－1B.3＋1C．23＋2D．23－2【答案】D【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－23得a(a＋b)＋(a＋b)c＝(a＋b)(a＋c)[来源:学*科*网Z*X*X*K]＝4－23.而2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2a＋ba＋c＝24－23＝23－2.当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立．故选择D.5．某金店用一不准确的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()[来源:学.科.网Z.X.X.K]A．大于10gB．小于10gC．大于等于10gD．小于等于10g【答案】A【解析】设第一次称的黄金为a1克，第二次称的黄金为a2克，天平左侧长度为l1，右侧长度为l2.由杠杆原理知：a1·l1＝5l2，a2·l2＝5l1，则a1·a2＝25.又由均值不等式：a1＋a2≥2a1a2(a10，a20)得a1＋a2≥2×5＝10，又∵a1≠a2，∴a1＋a210.故选择A.二、填空题6．已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为.【答案】－2【解析】∵t0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2.7．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a，恒成立，则a的取值范围是.【答案】15，＋∞【解析】本题考查了恒成立问题和基本不等式问题，在求解过程中，可以先求得xx2＋3x＋1的最大值，然后要使得xx2＋3x＋1≤a(x0)恒成立，只要xx2＋3x＋1(x0)的最大值小于等于a即可．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，[来源:学科网ZXXK]只需求得y＝xx2＋3x＋1的最大值即可．因为x0，所以y＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是12，＋∞.8．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为.【答案】212【解析】在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＋2n－n－2＝n2－n.∴an＝n2－n＋33，∴ann＝n2－n＋33n＝n＋33n－1≥233－1，当且仅当n＝33n，即n＝33取等号，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5336，∴当n＝5时，ann＝5－1＋335＝535，当n＝6时，ann＝6－1＋336＝636＝212，∵535212，∴ann的最小值是212.三、解答题9．函数y＝loga(x＋3)－1(a0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn0，求1m＋2n的最小值．【解析】函数y＝loga(x＋3)－1的图像所经过的定点为A(－2，－1)，A在直线mx＋ny＋1＝0，于是2m＋n＝1，mn0，∴m0，n0.1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn＝2＋nm＋4mn＋2≥4＋2nm·4mn＝8.当且仅当1m＝2n，即m＝14，n＝12时等号成立．故1m＋2n的最小值为8.10．已知向量a＝1sinx，－1sinx，b＝(2，cos2x)．(1)若x∈0，π2，试判断a与b能否平行？(2)若x∈0，π3，求函数f(x)＝a·b的最小值．【解析】(1)若a与b平行，则有1sinx·cos2x＝－1sinx·2，因为x∈0，π2，sinx≠0，所以得cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a与b不能平行．(2)由于f(x)＝a·b＝2sinx＋－cos2xsinx＝1＋2sin2xsinx＝2sinx＋1sinx，又因为x∈0，π3，所以sinx∈0，32，于是2sinx＋1sinx≥22sinx·1sinx＝22，当2sinx＝1sinx，即sinx＝22时取等号．故函数f(x)的最小值为22.11．在西部，待开发的某地B所需要的汽油要由地处A地的炼油厂从公路运输，已知A、B两地的运输距离为S千米，汽车从A地运汽油到B地往返一次的油耗恰好等于其满载汽油的千克数w，故无法将汽油直接运到B地，为解决问题，决定在途中选定C地建设临时中转油库，先由往返于A、C之间的汽车将油运至C地，再由往返于C、B之间的汽车将油运至B地．(1)问汽车每千米耗油多少千克？(2)设A、C两地的运输距离为x千米，问一辆汽车往返于A、C之间一次可为中转油库运去多少千克油？(3)在(2)条件下，问中转油库设在A、B之间何处时，运油率P最大，最大值是多少？(运油率P＝(B地收到的油)÷(A地运出的油))．【解析】(1)因为AB＝S千米，每车载油量为w千克，所以汽车每千米油耗为w2S千克．(2)因为AC＝x，所以CB＝S－x，所以自A地往返C地一次，汽车油耗为w2S·2x＝wxS千克．所以一辆汽车自A地到C地余下的油量为w－wxS＝wS(S－x)千克．(3)由(2)结论可知，为使中转油库得到一车油，必须从A地运出SwS－x千克油，从中转油库满载一车油到B地，B地可收到的油为w－2·(S－x)·w2S＝wxS千克．所以P＝wxSSwS－x＝xS－xS2≤x＋S－x22S2＝14.当且仅当x＝S－x，即x＝12S时，Pmax＝14.所以当油库设在两地运输道路的中点时，运油率P最大，最大值为14.12．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？【解析】方法1：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b[来源:学#科#网Z#X#X#K]≥18500＋225a·40b[来源:Zxxk.Com]＝18500＋21000ab＝24500.当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75.即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500.故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．方法2：设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，y－252，其中x＞20，y＞25.两栏面积之和为2(x－20)y－252＝18000，由此得y＝18000x－20＋25.广告的面积S＝xy＝x18000x－20＋25＝18000xx－20＋25x，整理得S＝360000x－20＋25(x－20)＋18500.因为x－20＞0，所以S≥2360000x－20x－＋18500＝24500.当且仅当360000x－20＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x＝140，代入y＝18000x－20＋25，得y＝175，即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．