平行四边形辅助线

平行四边形辅助线平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：一、连对角线或平移对角线例1如图1，E是平行四边形ABCD中AD延长线上一点，ED交BC于F，求证：。简证：连BD，由图易得（同底等高），（同底等高）所以，所以，即。例2如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c（），AB=m，求m的取值范围。简解：要求AB的值，需把AC、BD、AB集中在一个三角形中，过C作CE∥DB交AB的延长线于E，由图易得DBEC是平行四边形，所以，，即，在△ACE中，，即。二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形例3如图3，平行四边形ABCD中，∠DBC=，DE⊥DB交BC的延长线于E，AD=a，DE=b，求。简解：过D作DF⊥BE于F，由题意得∠DEB=，所以DF=，BE=，则，所以。例4如图4，平行四边形ABCD的周长为40，∠ABC=，E、F是BD上的三等分点，AE的延长线交BC于M，MF的延长线交AD于N，设，，试求y与x的函数关系。简解：过A作AH⊥BC于H。因为，所以，所以。因为AD∥BC，所以，，所以，，，则。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线例5如图5，平行四边形ABCD中，N是AB中点，BE=，NE与BD交于F，求的值。简解：作AC交BD于O，连ON，由图得ON，因为，，，所以，所以，所以，则。例6如图6，平行四边形ABCD中，O是对角线交点，F是AB延长线上一点，OF交BC于E，AB=a，BC=b，BF=c。求BE长。简解：作OG∥CB交AB于G，因为O是AC中点，所以OG=，又，所以。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形例7如图7，正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF交于P，求证AP=AB。简证：延长CF交BA的延长线于G。因为FD=FA，易得△CDF△GAF，所以AG=CD=AB，则A为BG中点，又CE=DF，CB=CD，所以Rt△BCERt△CDF，所以∠1=∠2，因为∠1+∠3=，所以∠2+∠3=，所以∠CPB=，所以∠BPG=。则PA是Rt△BPG的斜边上中线，所以AP=AB。例8如图8，平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上一点，AE=CF，AE与CF交于P，求证PB平分∠APC。简证：连BE、BF，由图易证得。过B作BH⊥CF、BG⊥AE，垂足分别为H、G。因为，，所以BG=BH，所以B点在∠APC的角平分线上，则PB平分∠APC。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等例9如图9，E是平行四边形ABCD对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥BA，垂足分别为F、G，求证：。简证：作AH⊥BD于H，CK⊥BD于K，易得AHCK，连AE、CE。因为，，所以。又，所以，所以，则。例10如图10，ABCD是正方形，BE∥AC，AE=AC，CF∥AE，求证：∠AEB=2∠BCF。简证：连BD，过A作AH⊥AC交BE于H，AC与BD交于O。由图中易证得AHBO为正方形，所以AH=AO=。因为AE=AC，所以，所以在Rt△AHE中，∠AEH=。又因为AEFC为菱形，所以∠ACF=∠AEF=。又∠BCF=∠ACB-∠ACF=，则∠AEB=2∠BCF。