2012年高三数学一轮复习资料第三章-基本初等函数(Ⅱ)第3讲----两角和与差及二倍角的三角函数

-1-第3讲两角和与差及二倍角的三角函数★知识梳理1两角和与差的三角函数公式sin()sinsincossincos()coscossinsintan()tantan1tantan2.二倍角公式sin22sincoscos222cossin=22cos1=212sintan222tan1tan3.半角公式2cos12sin2，2cos12cos2，cos1cos12tan2sincos1cos1sin2tan★重难点突破1.重点：运用三角公式对式子进行等价变形，处理化简、求值和恒等式证明等问题2.难点：利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，准确合理的使问题获解。3.重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间差异，灵活应用所学公式进行求值证明。（1）两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律问题1。不查表求值：sincossincossinsin71587158=_______________解法一原式sin()cossincos()sinsin158158158158sincoscoscos158158tan15tan(4530)-2-133133333323解法二1sin7(sin23sin7)21cos7(cos23cos7)2sin23sin7cos23cos72sin15cos82cos15cos8tan15原式…（余同解法一）(2)准确估算角的范围问题2.已知tantan是方程x2+33x+4=0的两根，若，(-2,2)，则+=（）A．3B．3或-32C．-3或32D．-32错解：B.正解：D.★热点考点题型探析考点1两角和与差的正弦.余弦.正切题型1:顺用公式例1:已知3(,),sin,25则tan()4等于（）A．17B．7C．17D．7【解题思路】直接用两角和的正切公式解：B．∵(,)2，3sin5，∴4cos5，3tan4，∴31tan14tan()7341tan14．【名师指引】熟练掌握两角和与差的三角函数公式的结构特点是解决此类题的关键.题型2:逆用公式例2.（广东省实验中学2009届高三第二次阶段测试）sin155°cos35°－cos25°cos235°=____________.【解题思路】注意到15518025;23527025-3-解析:原式=sin(18025)cos35cos25cos(27025)3sin25cos35cos25sin35sin602【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式”变角：它决定变换的方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解；【新题导练】1.cos43cos77sin43cos167oooo的值为．解析．诱导公式变角，再逆用三角公式切入，cos43cos77sin43cos167=;21120cos77sin43sin77cos43cos000002.(华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)若(,)2，且4sin5，则2sin()cos42．解析：2考点2二倍角的正弦.余弦.正切题型1：顺用公式例3．(执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)已知,2,53sin,21tan,求2tan的值.【解题思路】先由诱导公式求出tan，再由二倍角公式求解。解析342tan,21tan,21tan.又53sin,且,2cos247tan2tan1tan2tan2tan,43tan,54【名师指引】在三角函数的过程中,观察条件中的角和结论中的角之间的内在联系是解决此类题的关键.题型2:逆用公式-4-例4．sin105cos105的值为（）Ａ．14Ｂ．－14Ｃ．34Ｄ．－34【解题思路】联想二倍角的正弦公式解析：11sin105cos105sin75cos75sin15024【名师指引】见sincosxx就联想到1sin22x是三角变换中常用的手段。题型3:变形用公式例5．(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC中，已知角A为锐角，且AAAAAAAf222cos)2(sin)22(sin)22sin()2sin(]1)2[cos()(.求f(A)的最大值；【解题思路】联想到降幂公式：21coscos22，21cossin22[解析]AAAAAAAAAAAAf22222coscos2cos2sincos2cos2sin2cos2cos2sin)12(cos)(.21)42sin(22)12cos2(sin21cos2sin212AAAAA∵角A为锐角，.45424,20AA)(,242AfA时当取值最大值，其最大值为.212【名师指引】在研究三角函数性质时经常使用“见平方就降次，见切割就化弦”这一手段。【新题导练】3．,02sin)152(sin5,2AAABC中A是锐角,求A2tan的值；解：（由条件，得.0)2)(sin1sin5(AA.55sin,01sin5,2sinAAA即∵A在锐角，21tan,552sin1cos2AAA，4．已知2cos23，则44sincos的值为（）-5-A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1813B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1811C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆97D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1解析:选B442222221sincos(sincos)2sincos1sin2221111(1cos2)218.34tan1tan22tan2AAA★抢分频道基础巩固训练1．(2009届广东五校高三第二联考试卷)已知,21tan则2cos的值为（）A．51B．53C．54D．53解析:选D：221tan3cos21tan52．(华南师大附中2009届高三综合测试（二）)设2tan()5，1tan()44，则tan()4A．1318B．1322C．322D．16解析:tan()tan()34tan()tan[()()]44221tan()tan()4选C3．167cos43sin77cos43cos的值为。解析：原式=cos43cos77sin43cos(9077)cos43cos77sin43sin77cos(4377)cos120=－124．已知11tan,tan6263，则tan3解析：tan()tan()66tantan13361tan()tan()665．(2008-2009年汕头金山中学摸底考试)已知函数()sinsin(),2fxxxxR.若-6-3()4f，求sin2的值.解:()sincosfxxx由3()4f得:39sincos,12sincos4167sin216综合拔高训练6．(广东省2009届高三第一次六校联考试卷数学)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，22．（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，2分由此得tanθ＝－1（22），所以θ＝4；6分（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得｜a＋b｜＝(sinθ＋1)2＋(1＋cosθ)2＝3＋2(sinθ＋cosθ)＝3＋22sin(θ＋π4)，10分当sin(θ＋π4)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝π4时，|a＋b|最大值为2＋1．12分7．(惠州市2009届高三第三次调研考试数学试题)已知02cos22sinxx．（1）求xtan的值；（2）求xxxsin)4cos(22cos的值．解：（1）由02cos22sinxx,22tanx，3421222tan12tan2tan22xxx．（2）原式＝xxxxxsin)sin22cos22(2sincos22-7-xxxxxxxsin)sin(cos)sin)(cossin(cosxxxsinsincos1cotx31()144．8．已知向量),cos,(sina)sin,(cosb，)0,cos2(cb，21ba，31ca，求cottan)(2cos的值.解：设(,),cxy则(cos,sin)(2cos,0)bcxy，∴(cos,sin).c∵1,2ab1,3ac∴1sincoscossin21sincoscossin3，∴5sincos121cossin12，∴1tancot5,sin(),2∴21cos2()12sin()2，∴111cos2()tancot522.