2012年高三数学一轮复习资料第三章-基本初等函数(Ⅱ)第5讲--三角函数的图像与性质

-1-第5讲三角函数的图像与性质★知识梳理正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR的性质：（1）定义域：都是R（2）值域：都是[-1，1]对于sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值－1；对于cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值－1。（3）周期性：①sinyx、cosyx的最小正周期都是2②()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ（5）单调性：sinyx在区间2,222kkkZ上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,22kkkZ上单调递增，在区间2,2kkkZ上单调递减，。（6）正切函数tanyx的图象和性质：（1）定义域：{|,}2xxkkZ。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：周期是.（4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是,02kkZ，-2-（5）单调性：正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。★重难点突破1.重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图象与性质。2.难点：化简三角函数式的过程.3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，利用三角函数图象与性质处理与不等关系相关的问题(1)利用单调性处理不等关系问题1.(08四川)设0≤2，若sin3cos，则的取值范围是（A）(,)32（B）(,)3（C）4(,)33（D）3(,)32点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．sin3cos，即sin3cos0，即2sin()03，即sin()03；又由02，得5333；综上，03，即433．选C．（2）研究三角函数的性质问题2.（08安徽卷）已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]122上的值域点拨:处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为sin()(0,0)yAxkA的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于图象.解：（1）()cos(2)2sin()sin()344fxxxx13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x-3-2T2周期∴,由2(),()6223kxkkZxkZ得∴函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5[,],2[,]122636xx因为()sin(2)6fxx在区间[,]123上单调递增，在区间[,]32上单调递减，所以当3x时，()fx取最大值1又31()()12222ff，当12x时，()fx取最小值32所以函数()fx在区间[,]122上的值域为3[,1]2★热点考点题型探析考点1作三角函数的图象题型1:作正弦函数的图象［例1］（2007·天津改编）画出函数π()2sin24fxx在一个周期内的图像．【解题思路】三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线）．五个特殊点的选取．［解析］（1）列表如下：24x02322x838587898()fx020－20（2）描点、连线（如图3－3－2）【名师指引】五点法作图的技巧：图3-3-2-4-函数sin()(0,0)yAxA的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为4T，于是五点横坐标依次为12132,,,44TTxxxxx，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得1x的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像．题型2.借助于三角函数的图象处理有关问题问题2.（2007·天津）设函数()sin()3fxxxR，则()fx（）A、在区间2736，上是增函数B、在区间2，上是减函数C、在区间84，上是增函数D、在区间536，上是减函数【解题思路】作出图象,一目了然［解析］函数()sin()3fxxxR的图象如下图Oyx选A．【名师指引】数形结合在处理三角函数的单调性的有关问题时起到关键作用.【新题导练】1.画出函数3sin(2)4yx在区间],0[上的图像．［解析］（1）列表如下：x08385878y22101022435363235676-5-（2）描点、连线（如图3－3－3）2.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)已知函数()2sin()fxx对任意x都有()(),66fxfx则()6f等于（）A.2或0B.2或2C.0D.2或0解析:由()()66fxfx，函数图象关于6x，()6f是最大值或最小值选B考点2值域与最值问题题型1.化为sin()(0,0)yAxkA的形式[例1].(2009年广东省广州市高三年级调研测试)已知()sin3cosfxxxx(R).（1）求函数)(xf的最小正周期;（2）求函数)(xf的最大值，并指出此时x的值．【解题思路】利用22sincossin()axbxabx对解析式进行化简,再进一步处理.解：（1）∵xxxfcos3sinxxcos23sin2123sincos3cossin2xx3sin2x∴2T.(2)当13sinx时,)(xf取得最大值,其值为2.此时232xk，即26xkk(Z).【名师指引】研究三角函数的图象与性质一般先将解析式化为sin()(0,0)yAxkA的形式,再研究函数的性质.利用整体代换的思想求出-6-函数的最大值和最小值是解题的关键．题型2.通过换元用二次函数的知识研究值域或最值.［例2］求函数2cossin(||)4yxxx的最大值和最小值．【解题思路】将余弦化为正弦,再换元处理.［解析］设sinxt，则22[,]22t所以22151sinsin()24yxxt22[,]22t故当12t即6x时，max54y，当22t即4x时，min122y．【名师指引】若函数出现既有一次项又有二项，一般都要利用二次函数的思想．【新题导练】3.设2()6cos3sin2fxxx．求()fx的最大值及最小正周期.解：1cos2()63sin22xfxx3cos23sin23xx3123cos2sin2322xx23cos236x．故()fx的最大值为233；最小正周期22T．4.已知向量33(cos,sin)22xxa,(cos,sin)22xxb，且23,2x（1）求||ab的取值范围；（2）若()||fxabab，试求()fx的取小值，并求此时x的值。解：xxbaxbabacos22cos22,2cos,1（1）0cos123,2xx2cos20x即]2,0[ba………………………………6分（2）()||fxabab23)21(cos21cos2cos2cos22cos)(22xxxxxxf时当21cosx时或即3432xx()||fxabab的最小值为－321，3，5-7-考点3周期性与奇偶性问题题型.研究三角函数的奇偶性和求周期［例1］(潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检第(1)(3)问)已知函数)cos(sinlog)(21xxxf（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性。【解题思路】用奇偶性的定义和性质进行判断解析：（1）要使f(x)有意义，必须sincos0xx，即52244kxk得f(x)的定义域为5(2,2),44kkkZ（2）因f(x)的定义域为5(2,2),44kkkZ，关于原点不对称，所以f(x)为非奇非偶函数.【名师指引】讨论函数的奇偶性，其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称．若函数f（x）为奇函数()()()fxfxyfx的图像关于原点对称．若函数f（x）为偶函数()()()fxfxyfx的图像关于y轴对称．［例2］（08江苏卷）cos6fxx的最小正周期为5，其中0，则=．【解题思路】代公式2T解析:2,,1055T【名师指引】先将解析式化为sin()(0,0)yAxkA的形式,再用公式2T进行处理.【新题导练】5．（2007·广东）若函数21()sin()2fxxxR，则()fx是（D）A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数［剖析］211cos211()sincos22222xfxxx,T,且为偶函数.［答案］D．6.)sin()(xAxf（A＞0，ω＞0）在x＝1处取最大值，则（）A、)1(xf一定是奇函数B、)1(xf一定是偶函数C、)1(xf一定是奇函数D、)1(xf一定是偶函数-8-解析:D［∵)sin()(xAxf（A＞0，ω＞0）在x＝1处取最大值∴)1(xf在x＝0处取最大值，即y轴是函数)1(xf的对称轴∴函数)1(xf是偶函数］考点4单调性与对称性问题题型1.求单调区间和研究对称性［例1］(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)已知向量)1,(sina，)cos,1(b，（1）若a⊥b,且－π2＜＜π2．求；（2）求函数y|a＋b|的单调增区间和函数图像的对称轴方程．【解题思路】先进行向量运算,再化简三角函数式解析(1).,ab0absincos0－π2＜＜π2422(2).(sin1,cos1)(sin1)(cos1)yab22sin2sin1cos2cos12(sincos)322sin()34由22,()242kkkZ得求函数y|a＋b|的单调增区间是：322()44kkkZ，由,42xkkZ。得对称轴方程是：,.4xkkZ【名师指引】函数sin()()yAxxR的图像有无穷多条对称轴，可由方程()2xkkZ解出；它还有无穷多个对称中心，对称中心为,0()kkZ．题型2.借助于单调性处理不等关系和最值问题［