2012年高三数学复习资料基本初等函数(Ⅱ)第6讲--函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角

-1-第6讲函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用★知识梳理形如sin()yAx的函数：（1）几个物理量：A―振幅；1fT―频率（周期的倒数）；x―相位；―初相；（2）函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，（3）函数sin()yAx图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝0，3,,,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：①函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移||个单位得sinyx的图象；②函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图象；③函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；④函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图象。要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，（5）研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x，但在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。★重难点突破1.重点：熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则处理sin()yAxk与sinyx图象间的关系2.难点：将三角函数式化为sin()yAxk的过程以及已知sin()yAxk的图-2-象求参数,,A的过程3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，分析图象特征求参数值，研究三角函数的性质以及解析一些实际问题。(1).三角函数的性质要熟记。问题1(广东省五校2008年高三上期末联考)定义行列式运算1234aaaa=1423aaaa-.将函数3sin()1cosxfxx=的图象向左平移n（0n）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为A．6pB．3pC．56pD．23p点拨:本题考查了信息的处理、迁移和应用能力以及三角函数的基础知识．()fx=2cos(x+6)左移n2cos(x+n+6),因此，n=56p选C（2）对三角函数图像的对称性和平移变换要熟练掌握问题2.(潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测)已知函数xxfysin)(的一部分图象如右图所示，则函数)(xf可以是Axsin2Bxcos2Cxsin2Dxcos2点拨:用代入法,结合周期为及对称性可知选D（3）重视三角函数的应用题问题3.某港口水的深度y（米）是时间t(240t,单位：时)的函数，记作()yft,下面是某日水深的数据：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经常期观察，()yft的曲线可以近似的看成函数btAysin的图象，根据以上的数据，可得函数()yft的近似表达式为.解析:从表可以看出，当t＝0时，y＝10，且函数的最小正周期12T∴b＝10，由212-3-得6，由3t时13y得sin10132A∴3A,∴()yft的近似表达式为106sin3ty，★热点考点题型探析考点1函数图象变换问题题型:将几何条件转化为参数的值.［例1］（2008·广东省惠州市高三第二次调研考试）将函数sin(2)3yx的图象先向左平移6，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）．A．cosyxB．sin4yxC．sin()6yxD．sinyx【解题思路】直接按变换法则进行转化［解析］sin(2)3yx的图象先向左平移sin[2()]sin2663yxx，横坐标变为原来的2倍1sin2()sin2yxx．选D．【名师指引】三角函数图象变换问题一般步骤是先平移再伸缩.【新题导练】1．（2008·东莞五校联考题）将函数xy4sin的图像向左平移12个单位，得到)4sin(xy的图像，则等于（）A、12B、3C、3D、12解析．C．［将函数xy4sin的图像向左平移12个单位，得到sin4()12yxsin(4)3x］2．我们知道，函数sin2yx的图象经过适当变换可以得到cos2yx的图象，则这种变换可以是A．沿x轴向右平移4个单位B．沿x轴向左平移4个单位C．沿x轴向左平移2个单位D．沿x轴向右平移2个单位解析：cos2sin(2)sin2()24yxxx选B-4-考点2确定函数解析式问题题型1:分析图形定参数例1.(08海南、宁夏省)已知函数2sin()(0)yx)在区间02，的图像如下：那么＝（）A．1B．2C．21D．31【解题思路】在解析式sin()yAxk中的值由周期确定,从图象分析周期为【解析】由图象知函数的周期T，所以22T答案：B【名师指引】确定函数sin()yAx的解析式就是确定其中的参数,,A等，从图像的特征上寻找答案，它的一般步骤是:A主要由最值确定，是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，可由点在函数图像上求得，确定值时，注意它的不唯一性，一般要求||中最小的．题型2.分析图象特征确定参数再求值例2.（广东省实验中学2008学年高三第二次阶段测试试已知向量)3,(sin),cos,1(xnxm，（0），函数nmxf)(且f(x)图像上一个最高点的坐标为)2,12(，与之相邻的一个最低点的坐标为)2,127(.(1)求f(x)的解析式。（2）在△ABC中，abc、、是角ABC、、所对的边，且满足222acbac，求角B的大小以及f(A)取值范围。【解题思路】将条件代入求参数,分析角之间的关系求值.解析：(Ⅰ)xxnmxfcos3sin)(………………………1分)cos23sin21(2xx………………………2分)3sin(2x…………………………………3分yx2π11O-5-∵f(x)图像上一个最高点的坐标为)2,12(，与之相邻的一个最低点的坐标为)2,127(.∴2121272T,所以T,于是22T…………………4分)32sin(2)x(fx可知…………………………5分（2）∵222acbac，∴2221cos22acbBac，…………………7分又0B，∴3B…………………8分)32sin(2)A(fA，∵3B，∴203A，可知35323A…………………10分1,1)32sin(A2,2)(Af…………………12分【名师指引】.按确定sin()yAx的解析式的一般步骤定参数.题型3.分析图表确定参数再研究函数的性质例3.已知函数sin0,0fxAxBA的一系列对应值如下表：x63564311673176y1131113（1）根据表格提供的数据求函数fx的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数0yfkxk周期为23，当0,3x时，方程fkxm恰有两个不同的解，求实数m的取值范围；【解题思路】分析图表发现周期性、最值、对称点坐标确定参数.借助数形结合讨论方程的解.解：（1）设fx的最小正周期为T，得11266T……………………..2分由2T得1又31BABA，解得21AB……………………..3分令562，即562，解得3∴2sin13fxx……………………..5分-6-（2）∵函数2sin13yfkxkx的周期为23又0k∴3k……………………..6分令33tx，∵0,3x∴2,33t……………………..8分如图sints在2,33上有两个不同的解的充要条件是3,12s∴方程fkxm在0,3x时恰好有两个不同的解的充要条件是31,3m，即实数的取值范围是31,3……………………..12分【名师指引】高考中三角函数的大题往往在知识的交汇处入手.【新题导练】3．函数)0,0)(sin(AxAy的图像的两个相邻零点为)0,6(和(,0)2，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（）A、)423sin(2xyB、)42sin(2xyC、)623sin(2xyD、)62sin(2xy解析A．［由图像的两个相邻零点为)0,6(和(,0)2得22263T42332T，由最大值为2，最小值为－2知2A，又函数过点(,0)6得32sin[()]2sin()0264，故()4kkZ，而0，故4，从而所求函数为32sin()24yx]4．若函数()sin()fxx的图像（部分）如下图所示，则和的取值是（）A、1,3B、1,3C、1,26D、1,6-7-解析．C［由03232解出即可］5.已知函数)sin(xxf(0，0)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为24.⑴求xf的解析式；⑵若5cottan，求tan11)42(2f的值。解析：⑴设最高点为1(,1)x，相邻的最低点为2(,1)x，则|x1–x2|=(0)2TT∴22444T，∴22T，∴1＝………………………（3分）∴()sin()fxx，∵()fx是偶函数，∴sin1，)(2Zkk.∵0，∴2，∴()sin()cos2fxxx……………(6分)⑵∵tancot5，∴1sincos5………………………………(8分)∴原式2cos(2)1242sincos1tan5考点3三角函数模型的简单应用题型1.形如sin()yAxb的建模［例1］（2006·广东模拟）如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数sin()yAxb．（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；（2）写出这段曲线的函数解析式．【解题思路】在实际背景中抽取出基本的数学关系是解题的关键所在［解析］（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．（2）观察图像可知，从8～14时的图像是sin()yAxb的半个周期的图像．∴11(5030)10,(5030)4022Ab．图3－4－7-8-∵1214822T，∴6，∴10sin()406yx将8,30xy代入上式，解得6∴所求解析式为10sin()40,[8,14]66yxx．【名师指引】①将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．②利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．题型2.分析平面图形建立三角函数模型［例2］如图，A是