实变与泛函第一章答案

1.1证明3不是有理数。证明：假定3是有理数，则存在,,1nZmNnm，使得3nm3mn223mn。因此n是3的倍数，可以设3nk，故2233km223mk。违背了,nm最大公约数为1的假设。1.2若数列nx收敛，则nx有界。证明：nx收敛，故假定limnxxM。根据收敛定义可知，对，N，当nN时，nxMnxM。故nx为有界数列。1.3若nx是基本列，则存在子列knx，使11,1,2,.kknnxxkk证明：因为nx是基本列，根据Cauchy收敛准则nx收敛。假定nxa，则nx子列knxa。则对，K，当kK时，有knxa。取12k，故有12knxak，112knxak，而111kkkknnnnxxxaxak，得证。1.4数列nx收敛nx的每一个子列收敛到相同的极限。证明：nx收敛，假定limnxxa，根据收敛定义可知，对，N，当nN时，nxa。若knx是nx的一个子列，则当kN时，有knkN成立，故knxa，因此可以得出knx收敛到a。由knx的选取任意性可知nx的每一个子列收敛到相同的极限。反证法。假设nx的每一个子列收敛到相同的极限a，则若nx不收敛到a，则0，使得对k，kn满足knxaknx不收敛到a，与假设矛盾，故假设不成立。1.5设1|1+nExxn是的上界，证明E中存在最小数。证明：根据1lim(1)nnen及函数11xfxx为单调增函数可以证明结论。1.6设A是非空实数集，则存在单增数列nxA，使supnxA。证明：1若supA，则显然存在单增数列nxA，使supnxA。2若supAM，则对1n，nxA,使得1nxMn成立；又对nxA，均有nxM，故1nMxMnnx收敛到M，即存在单增数列nxA，使supnxA。1.7证明在nR中，坐标都是有理数的点构成的集合是可数集。证明：12R空间中，将全体有理数排成一列12,,,,nrrr，则2R上的有理数点1,;,jjQQrsrQsQA，其中,,,j1,2,,n,jijArri为可数集，根据定理可数多个可数集之并是可数集可知2Q是可数集。2对nR空间，可以利用归纳法，设kkQQQQ是可数集，则要证明1kkQQQ是可数集。将Q中有理数点排成一列12,,,,nrrr，将kQ中有理数点排成一列12,,,,nlll，则11kkjjQQQA，其中,,,j1,2,,n,jijArli，同样，根据定理可知1kQ是可数集结论。1.8若A是可数集，则A的子集最多是可数集。证明：A是可数集，则A可能是有限集或无限可数集。1若A是有限集，则其子集为有限集，必可数；2若A为无限集，不妨设12,,,,nAxxx，其子集是nx的一个有限或无限个子数列构成，仍然可以无遗漏的有序排列，仍然是可数的，结论。1.9单调函数的不连续点所构成的集合最多是可数集。证明：假定单调函数为fx，其不连续点必为跳跃间断点。设不连续点为ix，limiixxfxy，limiixxfxy，故iiyy。因此对于任一个不连续点均有一个开区间,iiyy与之对应。设xx，设0，使得xx。对,xxx，,yxx，有fxfy。故limlimxxxxfxyyfx,,yyyy。故fx上的间断点集合A与R上的一族互不相交的开区间11对应，故A可数。1.10若A是可数集，则A的所有有限子集所构成的集合是可数集。证明：方法一：不妨设AN，对N的任一有限子集12,,,mnnn，令111112,,,101010mmnnnnnmnnn，当有限子集不同时，其对应的自然数也是不同的，即N的所有有限子集所构成的集合与N的某一个子集形成11对应，故可数。方法二：根据1-7的证明知,mmmNQQQQQ为有理数可数。由于A为可数集，故m个由A中一个元素构成的集合1,AaaAN，故1A是可数集。同理推知，A中m个元素构成的集合1,,,,1,2,mmmimAaaaAimNNNN为可数集。而可数多个可数集之并1mmA是可数的。1.11若A是可数集，则A的所有子集所构成的集合是不可数集。证明：反证法。令A中的所有子集的集合为M，假设M为可数集，而A也是可数集，故AM。则对aA，均可在M中找到一元素，也即A的子集与之对应aaA。定义集合|,xExxAxA，即E中任意元素均不在它所对应的M中的子集元素中。EAEM。则eA，使得eE对应有两种情况，1eE，则显然不成立。2eE，则又与E的定义相符，故与之矛盾。故得证。（康托尔定理：用PX表示X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，有cardXcardPX，故不能与之一一对应，可得证。）1.12试给出,ab与,ab的一个11对应关系。答：（连续函数是不能改变区间的开闭性的）令|,1,2,2nbaAxxan，BAa，CBb，则,Bab，,Cab。建立CB的11映射gx为12,1,2,22nnaxabagxaxbbabaaxan令gxxCfxx其他，则可建立,ab与,ab的一个11对应关系。1.13若P表示所有正有理数组成的集合，试求P的边界与导集。答：1根据边界的定义结合有理数，无理数的稠密性可以得知P的边界0PR；2根据导集的定义及实数的稠密性可以推出导集0PR。1.14证明：对任意数集A，A是闭集，AA是开集。证明：1假设xA，根据定理1.4.3可知，nxA，nxx，使nxx。则对0，N，当nN时，nxxnxxx。又因为nxA，故xAx。由的任意性可知必存在xA。（若不然，即xA，则xA或CxA，则必0，使得xAx，与之矛盾。）因此AAA是闭集。2若A是闭集，则AA显然是开集；若A是开集，根据定理1.4.6可知AA是开集。证毕。1.15设fx是R上的实连续函数，则对任意的R，|,xfxxR是开集，|,xfxxR是闭集。证明：1任意取0|,xxfxxR，则0fx。由于fx是R上的实连续函数，根据连续函数性质可知，0，使得当0xx时，fx，故可得0|,xxfxxR。根据开集定义可知|,xfxxR是开集。2取|,nxxfxxR，则nfx。令0nnxx时，则根据函数的连续行可知0fx，而0x为极限点，故0|,xxfxxR。根据闭集定义可知|,xfxxR是闭集。1.16判断下列结论的正确性，并给出理由：（1）任意多个闭集之并是闭集。（2）数列nx收敛数集nx有极限点。（3）连续函数将闭集映成闭集。（4）数集的边界点总是它的极限点。答（1）错。例如闭集10,1,1,2,nn的并集110,1nn为0,1并非闭集。（2）错。数列1111,,1,,1,234并不收敛，但是它的数集1111,,,234具有极限点。（3）错。NR，函数为1n，映射结果为1111,,,234并非闭集。（4）错。数集1111,23nNn极限点为0，但是边界点很多，并非极限点。