弹性力学-04

第四章平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力压力隧洞§4-7曲梁的纯弯曲§4-8圆盘在匀速转动中的应力与位移§4-9圆孔的孔边应力集中§4-10楔形体的楔顶与楔面受力§4-11半平面体在边界上受法向集中力§4-12半平面体在边界上受法向分布力主要内容§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOdrdrPABCrrrkrkddrr)(rddrrrrdrrrrddrrd体力：kkr,应力：PA面rr,PB面r,BC面drrrrdrrrrdrrBC面应力正向规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOdrdrPABCrrrkrkddrr)(rddrrrrdrrrrdrrd2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：,0rFrdrdrrdrdrr)(ddrrdrrrr))((2ddr2ddrd0rdrdkrrdrdrdrrdrdrrrdrdrdrddrrr22ddr2ddrd2ddr0rdrdkr将上式化开：（高阶小量，舍去）drdrrdrdrrdrdrdrd0rdrdkrxyOdrdrPABCrrrkrkddrr)(rddrrrrdrrrrdrrdrr1rrrr0rk两边同除以：rdrd,0Fdrdrdrdrddrrdrrrr)(2ddrdrr2ddrr0rdrdk两边同除以，并略去高阶小量：rdrd021krrrrrxyOdrdrPABCrrrkrkddrr)(rddrrrrdrrrrdrrd,0Mrr——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：rr1rrrr0rk021krrrrr（4－1）方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。§4-2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)(duurr(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：PAPAAPPAPPAAdrudrruurrrrur1r（a）径向线段PA的转角：01（b）线段PB的相对伸长：PBPBBPrdrddurr)(rur（c）1环向线段PB的转角：PBPPBBrduduurrr)(rur111tan（d）dxyOrPBPABdrAru1drruurrdurr)(duurr径向线段PA的相对伸长：rur1r（a）径向线段PA的转角：01（b）环向线段PB的相对伸长：（c）rur1环向线段PB的转角：rur11（d）剪应变为：111rrur1（e）dyxOrPBdrAPABuduudrruu(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：PAPAAP0drdrdr2r（f）径向线段PA的转角：2drudrruu2（g）环向线段PB的相对伸长：PBPBBPPBPPBBrduduuur12环向线段PB的转角：ru（h）2ru2（i）剪应变为：222rruru（j）(3)总应变21rrr0rurrur21urrur121rrrruruurr1整理得：rurrurrur1ruruurrr1（4－2）——极坐标下的几何方程2.物理方程平面应力情形：)(1rrE)(1rErrrEG)1(21平面应变情形：)1(12rrErrrEG)1(21)1(12rE（4－3）（4－4）弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）rr1rrrr0rk021krrrrr几何方程：rurrurrur1ruruurrr1（4－2）物理方程：)(1rrE)(1rErrrEG)1(21（4－3）(平面应力情形)边界条件：位移边界条件：,rsruuuus应力边界条件：rsrsrkmlkmlssruur,为边界上已知位移，kkr,为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）rrr0arr0arr0brr0brr00badr00bardrMrdrba0rrlr000r00r0qlr0000r01800180rrra0sincos0adarrarr0cossin0adarrarr00Madaarr0xF0yF0OM取半径为a的半圆分析，由其平衡得：§4-3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方程（相容方程）yxxyxyyx22222（2-22）yYxXxyyx)1()(2222（2-23）（平面应力情形）0)(2222yxyx（2-25）0244224444yyxx(2-27)Xxyx22Yyxy22yxxy2(2-26)应力的应力函数表示：),(yx2.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：rrrrrrrrrrrr)(1112222（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：0)(112222rrrrr（常体力情形）（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：22211rrrr22rrrr1（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：01122222rrrr（常体力情形）方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：222yxrxyarctancosrxsinrycosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2（2）应力分量与相容方程的坐标变换：xxrrxrrsincosrrsincosyyrryrrcossinrrcossin应力分量的坐标变换),(rxyrrrrxsincossincos22rrrrr22222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrycossincossin22rrrrr22222coscossin2sin22222coscossin2rr(a)(b)xxyyrrrryxcossinsincos2rrrrrcossinsincoscossin22222222222cossinsincosrr(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－26）：0220yx0220xy020yxxyxyrr22211rrrr1yrx,0时当0220yxrrrrrr22222sincossin2cos022222sincossin2rr22r0220xyrrrrr22222coscossin2sin022222coscossin2rr22211rrrr020yxxyrrrr22222sincoscossin0222222cossinsincoscossinrrrrrrr1极坐标下应力分量计算公式：22r22211rrrrrrrrrr11122（4－5）可以证明：式（4－5）满足平衡方程（4－1）。相容方程的坐标变换说明：式（4－5）仅给出体力为零时的应力分量表达式。相容方程的坐标变换rrrrrx2222222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrry