弹性力学-03

第三章平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷主要内容§3-1多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法cbyaxyx),(其中：a、b、c为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程：0244224444yyxx显然φ(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.一次多项式（2）（3）对应的应力分量：02yxxyXxyx22XxXx0YyYy0Yyxy22若体力：X=Y=0，则有：0xyyx结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式（1）22cybxyax其中：a、b、c为待定系数。(假定：X=Y=0;a0,b0,c0)检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）0,0,02244444yxyx04(可作为应力函数)（3）由式（2-26）计算应力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy0202yxy0试求图示板的应力函数。例：xy00xyyx0),(202),(yyx3.三次多项式（1）3223dycxyybxax其中:a、b、c、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）0,0,02244444yxyx04(可作为应力函数)(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）计算应力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222结论3：三次多项式对应于线性应力分布。讨论：,3dy取)0(YX可算得：0xydyx60yxy12h2hll图示梁对应的边界条件：:2hy0,0xyy:lx0,6xyxdydh3mindh3maxMM3dy可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系：220hhxdy(1)由梁端部的边界条件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhMdydyMhd32)2(3hMd或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。0xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。4.四次多项式（1）432234eydxyycxybxax检验φ(x,y)是否满足双调和方程（2）cyx8244ax2444ey2444代入：04得033eca024824eca432234eydxyycxybxax可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：033eca（3）应力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy——应力分量为x、y的二次函数。（4）特例：44eyax212eyx0xy212axy（须满足：a+e=0）总结：（多项式应力函数的性质）（1）多项式次数n4时，则系数可以任意选取，总可满足。04多项式次数n≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。04多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？xyyx,,xyyx,,问题：§3-2位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？xyyx,,xyl1hMM1.形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：12/3hMyyIMx0xy0y平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)将式（a）代入得：IMyEyIMyEx10xy(b)（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：0xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)（2）位移分量0xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)将式（c）前两式积分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：)(),(21xfyf式中：为待定函数。)()(12yfxfxEIM整理得：0)()(21xfyfxEIM（仅为x的函数）（仅为y的函数）要使上式成立，须有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：ω为常数。积分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf将上式代入式（d），得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)（1）(f)讨论：式中：u0、v0、ω由位移边界条件确定。常数00xEIMyuxx当x=x0=常数xEIMyu（2）位移分量0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMvxyl1hMM——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00xEIMyuxxyu0|xx说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。（2）常数EIMxv22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对x求二阶导数：0uyxyEIMu说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即EIMxv221——材料力学中挠曲线微分方程2.位移边界条件的利用（1）两端简支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其边界条件：000yxu000yxv将其代入(f)式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2将其代回(f)式，有ylxEIMu)2(22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20——与材力中结果相同00ylxv（2）悬臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)边界条件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：0,000ylxylxvu（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）代入式（f），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMvyxlEIMu)(222)(2yEIMxlEIMv(3-4)h/2h/2挠曲线方程：20)(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：h/2h/20,000ylxylxvu（中点不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）00u得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：00uEIMlv220EIMl此结果与前面情形相同。（为什么？）（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,,然后将代入式（2-26）求出应力分量：),(yx先由方程（2-27）求出应力函数：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。xyyx,,04按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；xyyx,,（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；xyyx,,（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；xyyx,,04（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。xyyx,,——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）xyyx,,代入物理方程，求得应变分量xyyx,,将应变分量xyyx,,代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。§3-3简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数的确定(1)分析：y——主要由弯矩引起；x——主要由剪力引起；xy——由q引起（挤压应力）。又∵q=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x变化。y推得：)(yfy(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：),(yx)(22yfxy积分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b))(),(),(21yfyfyf——任意的待定函数xyllqlql1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b))(),(),(21yfyfyf——任意的待定函数(3)由确定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx0)(2)()()(2)2()