勾股定理导学案

118.1勾股定理（3）编制人：肖利秋审核人：使用人学习目标:能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。一、预习新知（阅读教材第26至27页，并完成预习内容。）1.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？分析：容易知道，长为2的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____、______的直角三角形的斜边。2.作法：在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点。试一试1.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）二、课堂展示例1:已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。⑴求等边△ABC的高。⑵求S△ABC。DCBA2三、随堂练习1．填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=，b=。(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。四、课堂检测1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm，则另一条直角边的长是（）A.4cmB.34cmC.6cmD.36cm2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42或32D．37或333．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动()A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．5.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为.6.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．7．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。五、小结与反思“路”4m3mBCDA3图18.2-218.2勾股定理的逆定理（一）编制人：肖利秋审核人：使用人学习目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。难点：勾股定理的逆定理的证明。一、预习新知（阅读教材P31—33,完成课前预习）1.三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形与以3cm、4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？2.如图18.2-2，若△ABC的三边长a、b、c满足222cba、试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．3.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互为逆命题（2）什么叫互为逆定理（3）任何一个命题都有_____，但任何一个定理未必都有__试一试1.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？①两直线平行，内错角相等；②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相等；④角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。二、课堂展示例1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）17,8,15cba；（2）15,14,13cba．4三、随堂练习1.如果三条线段长a,b,c满足222bca，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？四、课堂检测1.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？五、小结与反思13km12km5kmBAC5图18.2-318.2勾股定理逆定理（2）编制人：肖利秋审核人：使用人学习目标：进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一、合作探究探究（一）例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航、行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？探究（二）：已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3求：四边形ABCD的面积。归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形例2:：如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。二、随堂练习1.一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为A3:4:5B5:4:3C20:15:12D10:8:22.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式182ba+（b-18）2+30c=0则△ABC是_______三角形。ABCDEDCAB6三、课堂检测1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形；C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。2.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。3.若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状。4.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB⊥BC。求：四边形ABCD的面积。5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝41ＢＣ，求证∠ＥＦＡ＝90。.五、小结与反思ABCD7勾股定理复习（1）编制人：肖利秋审核人：使用人学习目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一、复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．22222222,,bacacbbca,2222,acbbca．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．8(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若222cba，则三角形是直角三角形；若222cba，则三角形是锐角三角形；若cba22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二、课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．三、随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是()A．7，24，25B．321，421，521C．3，4，5D．4，721，8212.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（）A．6B．36C．64D．84.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）A．6cmB．8．5cmC．1330cmD．1360cm5.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角四、课堂检测1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm图1A1006492．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm3．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？五、小结与反思8m图310勾股定理复习(2)编制人：肖利秋审核人：使用人学习目标1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．难点：应用勾股定理以及逆定理．一、考点解析考点一：已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别