Dirichlet积分的计算方法

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[基金项目]长江大学精品课程(概率论与数理统计)[作者简介]赵天玉(1958-),男,河南辉县人,1981年大学毕业,硕士,教授,现从事数学教学与研究工作.第1页(共4页)Dirichlet积分的计算方法赵天玉(长江大学信息与数学学院,湖北荆州434023)[摘要]著名的Dirichlet积分在物理学等领域有广泛的应用.本文以积分变换为研究工具,采用数学物理方法,给出了计算Dirichlet积分的六种方法.[关键词]Dirichlet积分;Fourier变换;Laplace变换;广义函数TheCalculationMethodofDirichletIntegralZHAOTian-yu(SchoolofInformationandMathematics,YangtzeUniversity,Jingzhou,434023,China)AbstractThefamousDirichletintegraliswidelyusedinphysicsandotherfields.Inthispaper,theintegraltransformasaresearchtool,usingthemethodsofmathematicalphysics,sixkindsofcalculationmethodsforDirichletintegralisgiven.KeywordsDirichletintegral;Fouriertransform;Laplacetransform;Generalizedfunction积分0sin2xdxx是著名的Dirichlet积分,在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用[1].因为该积分收敛非绝对收敛,被积函数的原函数不能用初等函数表示,不能用传统的牛顿-莱布尼茨公式求出该积分值,所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论,寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题.文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法,但这些方法多数不但比较复杂,需要较高的分析技巧,而且需要较广的数学知识.在多年的教学实践中,作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题.本文首先综述了计算Dirichlet积分的传统经典方法,即含参变量积分法和围道积分法,然后以积分变换和广义函数为研究工具,采用数学物理方法,给出了计算Dirichlet积分四种新方法.1含参变量积分方法我们知道,含参变量积分0sin()(0)pxxFpedxpx(1)110000coscospxpxexydydxdxexydy第2页(共4页)由于cospxpxexye,积分0pxedx收敛,由WeierstrassM判别法,含参变量积分0cospxexydx在[0,1]上一致收敛.由于cospxexy在[0,)[0,1]上连续,根据积分顺序交换定理[4],11220001()cosarctanpxpFpdyexydxdypyp.又由阿贝尔(Abel)判别法知,积分(1)在0p时一致收敛,根据连续性定理[4],()Fp在0p时连续,故000sin1(0)lim()limarctan2ppxdxFFpxp2围道积分方法设()izefzz,12,LL分别是实数轴上[,]Rr与[,]rR线段,,rRCC分别是以原点为圆心,以r与R为半径的上半圆周,是如图1所示的积分路径.由Cauchy-Goursat定理知,()0fzdz,即12()()()()0RrLLCCfzdzfzdzfzdzfzdz(2)经化简12sin()()2RLLrxfzdzfzdzidxx,由小圆弧引理[5],0lim()rrCfzdzi,由Jordan引理[5],lim()0RRCfzdz.在式(2)两边令0,rR,并整理得:0sin2xdxx3Fourier变换方法图1围道积分路径第3页(共4页)设1,1;()0,1.tftt,则它的Fourier变换为[()]()jtFftftedtsin2()F.当1t时,有11()[()]()2jtftFFFed02sincostd,特别取0t得:0sin2d.4能量积分方法设()ft在Fourier变换下的象函数为()F,则有221[()]()2ftdtFd(3)式(3)称为Parseval等式[6],其中2[()]ftdt称为()ft的能量积分.将上文中Fourier变换方法的()ft和()F应用在式(3)中,可以得到220sin2d.又由分部积分法,220sind00sin2sinudduu,故0sin2uduu.5Laplace变换方法设()sinftt,则它的Laplace变换为0[()]()stLftftedt211s()Fs.又0sinlim1ttt,()arctan2sFsdss,由Laplace变换象函数的积分性质[6],有sintLt()arctan2sFsdss,特别取0s得:0sin2tdtt.6广义函数方法单位脉冲函数()t也叫狄拉克(Dirac)函数,简称函数,它是一个广义函第4页(共4页)数,是弱收敛函数序列的弱极限[6],即对于任何一个无穷次可微的函数()ft,有sin()()lim()(0)ttftdtftdtt(4)在式(4)中特别取()1ft,由函数的筛选性质知,左边()1tdt,右边积分中作换元变换ut得:0sin1sin2sinlimlimtuudtdudutuu.故0sin2uduu.参考文献[1]梁昌洪.复变函数札记[M].北京:科学出版社,2011.[2]匡继昌.Dirichlet积分九种解法的思路分析[J].高等数学研究,2012,15(4):62~66.[3]张瑰,张梅.对Dirichlet积分的几种简便证明[J].高等数学研究,2005,8(4):28~29.[4]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].第三版.北京:高等教育出版社,2001.[5]姚端正,梁家宝.数学物理方法[M].第二版.武汉:武汉大学出版社,1997.[6]张元林.积分变换[M].第四版.北京:高等教育出版社,2003.

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