FIR数字滤波器的优化设计外文翻译

外文翻译译文第1页（共20页）FIR滤波器设计技术L.R.Rabiner著，赵然然译摘要这份报告列举了一些设计FIR滤波器所使用的技术。首先讨论了窗函数法和频率取样法的优点和缺点。FIR数字滤波器也包含了许多优化设计的方法，这些优化技术减少了在频率采样时非采样频率点的误差频率。对于用于设计数字滤波器的技术，例如matlab，进行了简明扼要的探讨。介绍FIR滤波器的系统函数是一个1z的多项式，因FIR滤波器的频率响应是频率的实函数，也称其为零相位滤波器。N阶FIR滤波器的系统函数表示为（1）FIR滤波器是十分重要的，可应用于精确线性相位相应。FIR滤波器的实现方式保证了它是一个稳定的滤波器。FIR滤波器的设计可分为两部分：（i）近似问题（ii）实现问题解决近似问题，要通过四个步骤找出传递函数：（i）在频域内找出期望的或最理想的反应（ii）选择滤波器的阶数（FIR滤波器的长度N）（iii）选择近似结果中较好的（iv）选择一种算法寻找最优的滤波器传递函数选择部分结构处理实现传递函数的形式可能是线路图或程序。本质上来说，有三种著名的FIR滤波器设计方法：（！）窗函数法（2）频率取样法（3）滤波器的优化设计外文翻译译文第2页（共20页）窗函数法在该方法中，[Park87],[Rab75],[Proakis00]从理想的频率响应Hd（w）出发，其对应的单位脉冲相应关系如下：（2）（3）一般来说，单位脉冲相应hd（n）的持续时间是无限的，所以在某种程度上说，它必须截断。n=M-1约束着FIR滤波器的长度M。以M-1截断的hd（n）乘以窗函数就得到了滤波器的单位脉冲响应。矩形窗口的定义为w(n)=10≦n≦M-1（4）0其它FIR滤波器的单位脉冲相应为h(n)=hd(n)w(n)（5）=hd(n)0≦n≦M-1=0其它现在,多元化的窗函数w(n)与hd(n)相当于hd(w)与w（w）的卷积，其中，w（w）是窗函数的频域表示(6)因此Hd(w)与w(w)的卷积为FIR数字滤波器的截断后的频率响应(7)频率响应也可以利用以下的关系式外文翻译译文第3页（共20页）(8)由于非均匀收敛的傅里叶级数的不连续性，其自身的波纹前后有一种近似于不连续的频率响应，因此直接截断的hd(n)来获得h(n)将导致吉布斯现象。与此同时，利用（8）得到的频率响应在频域内有波纹的振荡。为了减少波纹，hd(n)不是乘以一个矩形窗口w(n)，而是乘以一个含有圆锥和逐渐衰减到零的窗口。作为主体的序列的hd(n)和w(n)在时域内的卷积相当于其在频域内的乘积，其效果是平滑的。滤波器的窗函数的傅里叶系数对滤波结果的频率响应的影响如下：（i）一个主要的结果就是过渡带的不连续的两边出现中断（ii）过渡带的宽度取决于窗函数的频率响应的主瓣宽度（iii）滤波器的频率响应是通过卷积关系得到的，可以肯定的是，由产生的滤波器绝不是最佳的（iv）随着M的增加，其主瓣宽度降低从而降低了过渡带的宽度，但是这也过滤掉了更多的脉冲频率响应。（v）窗函数消除边缘响应引起的效果，并以较低的旁瓣代价增加过渡带的宽度常用的窗函数如下[Park87]1.Bartlett三角窗：W(n)=2(n+1)/N+1n=0,1,2…….,(N-1)/2(9)=2-2(n+1)/N+1n=(N-1)/2,……,N-1=0其它2.广义余弦窗(Rectangular,Hanning,HammingandBlackman)W(n)=a-bcos(2p(n+1)/(N+1))+ccos(4p(n+1)/(N+1))n=0,1….N-1(10)=0其它3.Kaiser窗外文翻译译文第4页（共20页）（11）一般的余弦窗有四种常用的形式。以下就是确定的参数a,b,c表一从[Park87]得到的系数WindowabcRetangular100Hanning0.50.50Hamming0.540.460Blackman0.420.50.08Bartlett窗函数的设计减少了信息的误差，但其过渡带较宽。Hanning,Hamming和Blackman窗的使用会更好，它们可以用于复杂的余弦函数，并可以提供理想的光滑截断的脉冲响应和频率响应。研究的结果表明，最佳的窗函数可能是有一个参数的Kaiser窗，它可以实现衰减和过渡带宽度的妥协。窗函数的主要优点是它们比起其它方法更加的简单，且易于使用。事实上，计算窗函数的明确的方程系数就可以成功的使用该方法。在使用窗函数来设计滤波器时，会遇到三个问题：（i）该方法只适用于Hd(w)是绝对可积的情况，即只有（2）式可以评估。当Hd(w)是复杂的或不能轻易被评价的闭合形式，写出Hd(n)的数学表达式就变得困难了。（ii）使用窗函数的灵活性比较差，例如，在低通滤波器的设计中，通频带的边缘频率一般不能用窗口完全掠过不连续区域。因此理想低通滤波器的截止频率，是通带截止频率f1和阻带截止频率f2相关的一个频率响应。（iii）窗函数法在设计标准滤波器，例如低通、高通、带通，是很有用的。但这也使其在语音、图像处理的程序上的应用是十分有限的。频率取样技术在该方法中，[Rad75]、[Park87]、[Proakis00]是按照前面的方法提供理想的频率响应。现在，是在给定的频率响应中取一系列等间隔的频率，用以得到N的取样。外文翻译译文第5页（共20页）因此，采样频率的响应Hd(w)在其本质上是给了我们Hd(2pnk/N)。因此，利用该滤波器可以计算出下面的公式：(12)现在使用上述的N阶滤波器响应、连续性频率响应作为计算差值采样频率响应的方法。其近似误差就会完全接近于零点采样频率的误差，并将它们之间的频率有限化。越平滑的频率响应将会越近似，存在于样本点间的差值误差会很小。一种减小误差的方法是增加频率采样的样本数目[Rad75]。其它的改善其质量的方法是找出一组无约束变量的制定频率样品。这些无约束变量的值一般都是由计算机来优化的一些简单的函数逼近，其误差接近最小。例如，一个无约束变量可能会选择在低通滤波器的通带于阻带之间的过渡带上的频率响应。有两套不同的频率，可以用于取样。一组样品是fk=k/N其中k=0,1,….N-1其他的均匀间隔的频率样品可以采取fk=(k+1/2)/N其中k=0、1、.N-1…。选择第二种时会在指定目标的第二个可能的频率的响应中给我们额外的灵活性。因此一个给定的过渡带边缘频率可能接近表二的频率采样点。在此情况下，依托于表二的设计将采用优化设计程序。在一张由RabinerandGold[Rabi70]提供的纸上，Rabiner提到了一种技术，即基于采样频率的理念来设计FIR滤波器。Rabiner对于这种方法的步骤的建议如下：i.随着样品数量的变化，其提供了相应量级的响应。给定N，设计师决定使用什么样的插值。ii.当它被Rabiner发现时，他实验了N从15到256的设计，16N样品的H（w）导致可靠的运算，因此，16到1的插值方法可用。iii.给定N值，滤波器的单位样品的响应会被确定，h(N)的计算公式是逆傅里叶变换。iv.Rabiner建议用两种程序去获得频率响应值。它们是（a）h(n)是由N/2样品或者（N-1）/2样品去移除其锐利的边缘，然后再15N的冲击响应样品周围的位置都是对称的脉冲响应。（b）h(n)分布在n/2样品之中，15N的样品安置在两脉冲响应之间。外文翻译译文第6页（共20页）（c）零增广序列使用FFT算法转换为插值频率的响应。频率取样技术的优点（i）与窗函数法不同，该技术可用于任何的响应。（ii）这种方法在设计非标准滤波器时是非常有用的，它可以处理任何不规则形状的响应。频率取样法也有一些缺点，即通过插值得到的频率响应只是理想频率的采样点的响应。在其他点，将会出现一些错误。最优滤波器设计方法目前，许多方法都属于这一范畴。这种方法的基本思路是多次设计滤波器的系数，直到误差降低到最小。它包含了多种方法：(i)最小平方误差的频域设计(ii)非线性方程解的最大波纹FIR滤波器(iii)最大波纹FIR滤波器的多项式插值的解决方案最小平方误差的频域设计就像在频率采样技术中所见到的那样，在没有约束的样本点之间，频率采样技术将获得很少的结果。频率采样技术更多的是插值的方法，而不是一种近似的方法。考虑到大量的样本点超过了滤波器的界限，该方法[Rab75],[Parks87]控制着样本点之间的响应。大部分滤波器的目的是从噪声信号中分离所需要的信号。优化设计的FIR滤波器用以作为信号的能量相关的平方值误差逼近信号时很合适的。给出了一个采用频率响应的FIR滤波器。一个误差函数定义如下(13)(i)在wk=(2*pi*k)/L和Hd(wk)是L样品所期望的响应，这是L样品在实际和想要的之间的频率响应的误差测度。该方法包括以下步骤：连续的频率响应从第一个样本开始实施，知道大于N(ii)然后运用下面的公式外文翻译译文第7页（共20页）(14)计算滤波器的冲击响应（iii）得到滤波器的冲击响应，其长度是对称的修建成N（iv）然后计算频率响应，并利用以下的关系式(15)(v)这些频率点的频率响应不可能与所需要的完全相同，但总体最小二乘误差将有效的降低，滤波的脉冲响应也将减少。为了进一步降低波纹和靠近过渡带边缘的波动，一个过渡区域将被定义为一个现行传递函数。然后L样本采样，在wk=(2*pi*k)/L的第N个样品所经过的滤波器使用上述方法计算。通过使用这种方法，降低了脉冲频率响应的插值。非线性方程的解最大波纹FIR滤波器所设计的FIR滤波器频率响应的真正部分可以写成a(n)cos(wn)[Rab75]，依据不同的滤波器类型进行求和限制。H(w)的频率的数量可以获得一个极值，它严格的控制着一项功能：滤波器的类型是否为线性相位滤波器，其长度N是奇数还是偶数，是对称还是反对称。在每一个极值处，理想的频率响应H(w)由一个结合的权函数确定，它的量代表了峰值误差的近似分布频率。当H(w)到达一个极值值间的不同频带上，逼近于期望的反应。由于这些滤波器有最大数量的波纹,他们被称为最大波纹滤波器。该方法如下：在每一个未知的外部频率，E(w)达到最大值或者H(w)具有零导数。两种方程的表达式如下：H(wi)=±δ/W(w)+D(wi)(16)d/dw{H(wi)}atw=wi=0(17)这个方程组为非线性方程组，通过其脉冲响应系数和频率可得到H(w)的通解表达式的值。此处需要注意的是这里的峰值误差(δ)是一个固定的数量并不是最小的优化方外文翻译译文第8页（共20页）案。因此H(w)的形状和只有频率时H(w)获得的极值是未知的。这种设计方法的缺点是在设计过程中无法指定不同频带的滤波器的过渡带边缘。最大限度波纹FIR滤波器的多项式插值解决方案该算法[Rab75]基本上是基于迭代技术来产生多项式H(w)的预期值。该算法通过最初开始的频率估计H(w)的极值何处会发生,然后采用知名的拉格朗日插值公式获得一个多项式,或者经过这些频率的最大允许脉动值。实验结果发现,初始猜测的极值频率不影响最终的算法的数量,而是影响迭代需要达到期望的结果。让我们考虑使用上述方法设计一个低通滤波器。图1最大迭代解脉动低通滤波器[Rab75]图1显示了一个N=11的低通滤波器的响应。在此情况下，其极值频率的数量为6，它们分成3通频带极值和3阻带极值。填充点显示初始猜测的极值频率的H(w)。实线是最初的拉格朗日多项式选择多项式系数得到的值，多项式的值都是相同的频率分配的极端。但这多项式有极值,超过指定的极大值的限定。该算法的下一个阶段是去找出第一拉格朗日插值发生频率的极值。这些频率现在用来作为极值滤波方法反应发生时的新频率。第二套频率点标于图1中的空心点。同样的，现在这套新频率最大的地方超过那些频率指定的极大值。因此该方法是完全迭代的性质。结论论文描述了涉及FIR滤波器的多种技术设计。各种方法都有其优点和缺点,需根据不同的滤波器类型选择不同的方法。窗函数法在设计标准滤波器，例如低通、高通、带通，是很有用的。他们不是很适合设计与任何特定频率响应的滤波器。另一方