Fourier和Laplace变换在信号系统频域分析中的运用

1Fourier和Laplace变换在信号系统频域分析中的运用1.Fourier变换在信号系统频域分析中的运用当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域与频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。例：已知描述某稳定的连续时间LTI系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),ytytytxtxt系统的输入激励3()()txteut，那么该系统的零状态响应()zsyt的推导过程如下：由于输入激励()xt的频谱函数为1()3xjj，根据微分方程可得到该系统的频率响应为22()32()3()()3()2(1)(2)jjHjjjjj，故该系统的零状态响应()zsyt的频谱函数()zsYj为2()3()()()(1)(2)(3)zsjYjXjHjjjj，将()zsYj表达式用部分分式法展开，得13122()23zsYjjjj，由Fourier反变换，可得系统()zsyt的零状态响应为2313()()()22tttzsyteeeut【分析】由上述例题可知，对连续时间LTI系统零状态响应的时域求解，如果利用冲激响应与输入信号的卷积的方法，则较为复杂（过于复杂，上述例题未做解析），则在有限的时间内不能作出很好的作答，难于解出；而利用上述方法，对连续时间LTI系统零状态响应的频域求解，将时域的卷积运算转换成频域的乘积运算，再通过Fourier2反变换求其时域的解比在其时域的直接求解较为清晰，简捷，因此使用Fourier变换进行信号系统的频域分析比较方便，实用。【推广】Fourier变换不仅在信号系统领域的运用比较广泛，而且在其他领域的运用也比较多，例如电路分析中的单位脉冲函数、振动力学、电工学、无线电技术、自动控制理论、无源静电场内电势的边值问题等，Fourier变换都占有很重要的地位。2.利用留数定理对Laplace反变换进行计算由于信号的时域表示和S域表示是一一对应的，当由信号的的Laplace变换X（s）求解信号的时域表示x(t),即为Laplace反变换，在信号系统中计算Laplace反变换的方法主要是留数法和部分分式展开法，前者根据Laplace反变换的定义入手，利用复变函数中的留数定理得到时域信号，后者是将S域表示式分解成许多简单的表示式之和，然后分别得到原时域信号。（1）留数的定义：设Zo为f(z)的孤立奇点，那么f(z)在Zo的留数Res[f(z),Zo]=C-1=1()2cfzdzi,其中C为去心邻域0ZZoR内的任意一条正向简单闭曲线。如果Z=为f(z)的孤立奇点，那么f(z)在Z=的留数Res[f(z),]=1()2Cfzdzi,其中C为R内绕原点的任意一条正向简单闭曲线。（2）留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点1z，2z，…nz外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么1()2Re[(),]nkkcfzdzisfzZ，这个定理把求沿封闭曲线C的积分，转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。（3）根据留数的定义及留数定理对Laplace反变换的计算可以直接从其定义，即1()()()2jLstjxtXsXsedsj，上式为一复变积分，积分路径是s平面上平行于虚轴的直线0C。为了应用留数定理，必须补上一个半径充分大的圆弧，使圆弧与直线构成闭合围线，用围线积分来代替线积分。由Jordan（约当）引理，若满足条件lim()0sRXs，则1lim()0,0RstRCXsedst，2lim()0,0RstRCXsedst，因此Laplace3反变换积分等于围线积分乘以12j，即111()()[()()],022RjcjstststjcjCxtXsedsXsedsXsedstjj或21[()()],02RcjststcjCXsedsXsedstj，由留数定理，复平面上任意闭合围线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和，举例如下。例：已知信号x(t)的Laplace变换为22(),Re{}0(3)(1)sXsssss,用留数法求x(t)的过程如下：因为X（s）具有两个单极点120,3PP和一个二阶极点31P.则分别求出相应极点的留数为02022Re{()}(3)(1)3ststssssXsesesss，332321Re{()}(3)(3)(1)12ststtssssXseseesss，21111213Re{()}(1)()(21)!(3)24stststttsssddssXsesXseeteedsdsss所以:x(t)=32113()31224ttteteeut.【分析】从以上可以典型例题看出，运用积分变换中的留数及其应用对求解信号系统中Laplace反变换的计算具有很大的帮助，能够很好的解决信号系统中有关Laplace变换的问题，与部分分式法相比，虽然比较复杂，但留数法适用的范围却比较广，能够更好的辅助信号系统的学习，对信号系统有很大的促进作用。【推广】Laplace变换除了在信号系统中有很好的应用外，其在力学系统、无线电技术、电学系统、自动控制系统、可靠性系统、随机服务系统也有很多的运用，在学科的建立中起着重要作用。【后记】学习了《积分变换与数理方程》这门课程，我受益匪浅。王老师上课时清4晰的逻辑思路与简洁的分析方法都给我留下了很深的印象，使我在学习该课程时不至走弯路。与本科时比较，研究生的课程无论是从知识深度还是思维拓展方面都更深了一个层次，这就对我们提出了更高的要求。我本人在数学方面的学习中一直比较吃力，经常力不从心，但我依然坚持尽自己最大的努力去学好这门课程。通过本次论文的写作，我对积分变换有了进一步的认识，不光知道了如何理解和使用积分变换，还能够发现其与自己专业的结合点，融会贯通，这也使我对专业课的学习产生了更加浓厚的兴趣。我相信有了积分变换这一有力的学习工具，在专业课的学习中会更加的得心应手，在以后的学习中我会继续努力，刻苦学习，为我的学术研究打下更加坚实的基础！再次感谢老师的谆谆教诲和辛勤付出！【参考文献】[1]胡光锐.信号与系统.上海:上海交通大学出版社.[2]丁玉美，高西全，彭学愚.数字信号处理.西安:西安电子科技大学出版社.[3]张元林.积分变换.北京:高等教育出版社.[4]王元明.数学物理方程与特殊函数.北京:高等教育出版社.[5]陈后金.信号与系统.北京:高等教育出版社.