f分布t分布与卡方分布

106§1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=iiX2的分布称为自由度等于n的2分布，记作Z～2(n)，它的分布密度p(z)=,,00,2212122其他zexnznn式中的2n=udeuun012，称为Gamma函数，且1=1，21=π。2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～2(n)，Z～2(m)，则Y+Z～2(n+m)。证明:先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X21+X22+…+X2n，Z=X21n+X22n+…+X2mn，Y+Z=X21+X22+…+X2n+X21n+X22n+…+X2mn，即可得到Y+Z～2(n+m)。2.t分布若X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～2(n)，则Z=nYX的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z～t(n)，它的分布密度P(z)=)()(221nnn2121nnz。请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t107分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3.F分布若X与Y相互独立，且X～2(n)，Y～2(m)，则Z=mYnX的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F(n,m)，它的分布密度p(z)=。其他,00,2)(1222222zmnznmnzmnmnmmnn请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F(n,m)时，Z1～F(m,n)。4.t分布与F分布的关系若X～t(n)，则Y=X2～F(1,n)。证：X～t(n)，X的分布密度p(x)=221nnnπ2121nnx。Y=X2的分布函数FY(y)=P{Yy}=P{X2y}。当y0时，FY(y)=0，pY(y)=0；当y0时，FY(y)=P{-yXy}=xdxpyy)(=2xdxpy)(0，Y=X2的分布密度pY(y)=21)(121221212nynynnnn，108与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X2～F(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x)，实数α满足0α1时，α分位数是使P{Xxα}=F(xα)=α的数xα，上侧α分位数是使P{Xλ}=1-F(λ)=α的数λ，双侧α分位数是使P{Xλ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使P{Xλ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。109当X～N(0,1)时，P{Xuα}=F0,1(uα)=α，P{Xu0.5α}=F0,1(u0.5α)=0.5α，P{Xu1-0.5α}=F0,1(u1-0.5α)=1-0.5α。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当α=0.5时，uα=0；当α0.5时，uα0。uα=-u1-α。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。论述如下：当X～N(0,1)时，P{Xuα}=F0,1(uα)=α，P{Xu1-α}=F0,1(u1-α)=1-α，P{Xu1-α}=1-F0,1(u1-α)=α，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。例如，u0.10=-u0.90=-1.282，u0.05=-u0.95=-1.645，u0.01=-u0.99=-2.326，u0.025=-u0.975=-1.960，110u0.005=-u0.995=-2.576。又因为P{|X|u1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α。标准正态分布常用的上侧α分位数有：α=0.10，u0.90=1.282；α=0.05，u0.95=1.645；α=0.01，u0.99=2.326；α=0.025，u0.975=1.960；α=0.005，u0.995=2.576。3）卡平方分布的α分位数记作2α(n)。2α(n)0，当X～2(n)时，P{X2α(n)}=α。例如，20.005(4)=0.21，20.025(4)=0.48，20.05(4)=0.71，20.95(4)=9.49，20.975(4)=11.1，20.995(4)=14.9。4）t分布的α分位数记作tα(n)。111当X～t(n)时，P{Xtα(n)}=α，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有tα(n)=-t1-α(n)，论述同uα=-u1-α。例如，t0.95(4)=2.132，t0.975(4)=2.776，t0.995(4)=4.604，t0.005(4)=-4.604，t0.025(4)=-2.776，t0.05(4)=-2.132。另外，当n30时，在比较简略的表中查不到tα(n)，可用uα作为tα(n)的近似值。5）F分布的α分位数记作Fα(n,m)。Fα(n,m)0，当X～F(n,m)时，P{XFα(n,m)}=α。112另外，当α较小时，在表中查不出Fα(n,m)，须先查F1-α(m,n)，再求Fα(n,m)=),(11nmF。论述如下：当X～F(m,n)时，P{XF1-α(m,n)}=1-α，P{X1),(11nmF}=1-α，P{X1),(11nmF}=α，又根据F分布的定义，X1～F(n,m)，P{X1Fα(n,m)}=α，因此Fα(n,m)=),(11nmF。例如，F0.95(3,4)=6.59，F0.975(3,4)=9.98，F0.99(3,4)=16.7，F0.95(4,3)=9.12，F0.975(4,3)=15.1，F0.99(4,3)=28.7，F0.01(3,4)=7.281，F0.025(3,4)=1.151，F0.05(3,4)=12.91。【课内练习】1.求分位数①20.05(8)，②20.95(12)。1132.求分位数①t0.05(8)，②t0.95(12)。3.求分位数①F0.05(7,5)，②F0.95(10,12)。4.由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5.由t0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6.若X～2(4)，P{X0.711}=0.05，P{X9.49}=0.95，试写出有关的分位数。7.若X～F(5,3)，P{X9.01}=0.95，Y～F(3,5)，{Y5.41}=0.95，试写出有关的分位数。8.设X1、X2、…、X10相互独立且都服从N(0,0.09)分布,试求P{Xii21.44}。习题答案：1.①2.73，②21.0。2.①-1.860，②1.782。3.①1488.，②3.37。4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。5.2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。6.0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7.9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，1901.与5.41为双侧0.1分位数，1541.与9.01为双侧0.1分位数。8.0.1。