G《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练.

第1页共8页[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年南昌模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn(a≠0，q≠1，q为非零常数)，则数列{an}()A．是等差数列B．是等比数列C．既是等差数列也是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：当n＝1时，a1＝aq，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a(q－1)·qn－1，易知数列{an}既不是等差数列也不是等比数列．答案：D2．(2013年曲阜质检)已知等比数列{an}的公比q为正数，且a5·a7＝4a24，a2＝1，则a1＝()A.12B.22C.2D．2解析：∵a5·a7＝4a24，∴a26＝4a24，∴a24·q4＝4a24.∵a4≠0，∴q4＝4.∵q＞0，∴q＝2，∴a1＝a2q＝22.答案：B第2页共8页3．在等比数列{an}中，a7a8＝π3，则sin(a5a10)等于()A.12B．－12C.32D．－32解析：由题意可得：sin(a5a10)＝sin(a7a8)＝sinπ3＝32.答案：C4．(2013年杨州模拟)正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝()A．8B．15(2＋1)C．15(2－1)D．15(1－2)解析：等比数列中若m＋n＝p＋q，则am·n＝ap·aq.∵a2a6＝a24＝8，∴a21q6＝8.∴q2＝2.∴S8＝1－q81－q＝15(2＋1)．答案：B5．(2012年西安五校联考)一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂()A.666－16－1只B．66只C．63只D．62只解析：设第n天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂an只，则根据题意可知a1＝1＋5＝6，an＝an－1＋5an－1＝6an－1，则{an}是等比数列，所以a6＝a1q5＝6×65＝66，故选B.答案：B二、填空题6．(2013年深圳模拟)已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则a13a10第3页共8页＝________.解析：∵{an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2.又∵a2＋a8＝3，∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，解得a2＝1，a8＝2.∴q6＝a8a2＝2.∴q3＝2.∴a13a10＝q3＝2.答案：27．(2013年上海徐汇模拟)在等比数列{an}中，an＞0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．解析：由已知a1a2·…·a7a8＝(a4a5)4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2a4a5＝22(当且仅当a4＝a5＝2时取等号)．所以a4＋a5的最小值为22.答案：228．(2013年大连模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：由已知可得：Sn＝3n，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1，当n＝1时，2·3n－1＝2.所以an＝3n＝1，2·3n－1n≥2.答案：3n＝1，2·3n－1n≥29．(2013年石家庄质检)已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，则a＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则有b1＝a＋1，b2＝aq＋2，b3＝aq2＋3，(aq＋2)2＝(a＋1)(aq2＋3)，即aq2－4aq＋3a－1＝0.因为数列{an}是唯一的，因此由方程aq2－4aq＋3a－1＝0解得的a，q的值是唯一的．若Δ＝0，则a2＋a＝0，又a＞0，因此这样的a不存在．在方程aq2－4aq＋3a－1＝0必有两个不同的实根，且其中一根为零，于是有3a－1＝0，a＝13，此时q＝4，数列{an}是唯一的，因此第4页共8页满足题意的a＝13.答案：13三、解答题10．(2013年杭州模拟)设等差数列{an}的首项a1为a(a≠0)，前n项和为Sn.(1)若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(2)证明：对∀n∈N*，Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋nn－12d，所以S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以S22＝S1·S4，即(2a＋d)2＝a·(4a＋6d)，整理得d(2a－d)＝0，所以d＝0或d＝2a.当d＝0时，an＝a(a≠0)；当d＝2a时，an＝a＋(n－1)d＝(2n－1)a(a≠0)．(2)证明：不妨设存在m∈N*，使得Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，则S2m＋1＝Sm·Sm＋2，得a2＋mad＋12m(m＋1)d2＝0，(*)①若d＝0，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，这与等比数列的定义矛盾；②若d≠0，要使数列{an}的首项a存在，则必有(*)式的Δ≥0.然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)·d2＜0，矛盾．综上所述，对∀n∈N*，Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．11．(2013年北京昌平模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，anbn＋1＝2an＋1bn.(1)求数列{an}的通项an；(2)求证：数列bnn为等比数列；并求数列{bn}的通项公式．解析：(1)∵2an＝an－1＋an＋1，第5页共8页∴数列{an}为等差数列．又a1＝1，a2＝2，所以d＝a2－a1＝2－1＝1，数列{an}的通项an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.(2)∵an＝n，∴nbn＋1＝2(n＋1)bn.∴bn＋1n＋1＝2·bnn.所以数列bnn是以b11＝2为首项，q＝2为公比的等比数列．∴bnn＝2×2n－1.∴bn＝n·2n.12．(能力提升)(2013年济南模考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝3n＋k.(1)求k的值及数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an＋12＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝2·3n－1，得等比数列{an}的公比q＝3，首项为2.∴a1＝S1＝3＋k＝2.∴k＝－1.∴数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.(2)由an＋12＝(4＋k)anbn，可得bn＝n2·3n－1，即bn＝32·n3n.∵Tn＝3213＋232＋333＋…＋n3n，∴13Tn＝32132＋233＋334＋…＋n3n＋1.∴23Tn＝3213＋132＋133＋…＋13n－n3n＋1.第6页共8页∴Tn＝9412－12·3n－n3n＋1.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年乌鲁木齐检测)已知直线y＝b(b＞0)与曲线f(x)＝sinx在y轴右侧依次的三个交点的横坐标x1，x2，x3成等比数列，则b的值为()A.12B.22C.32D．1解析：依题意得，x2＝π－x1，x3＝2π＋x1.∵x22＝x1x3，∴(π－x1)2＝x1(2π＋x1)，解得x1＝π4.∴b＝sinπ4＝22，故选B.答案：B2．(2013年温州市八校联考)已知等比数列{an}满足an＞0(n∈N*)，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1等于()A．(n＋1)2B．n2C．n(2n－1)D．(n－1)2解析：由等比数列的性质可知a5a2n－5＝a2n，又a5a2n－5＝22n(n≥3)，所以an＝2n.又log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝[1＋2n－1]n2＝n2，故选B.答案：B3．(2013年广州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．(1)设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，设bnbn－1＝q(n≥2)，第7页共8页即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)，得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.与已知an＋1＝an＋2an－1比较，令q－λ＝1，qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．当λ＝1时，q＝2，b1＝4，则数列{bn}是首项为4、公比为2的等比数列；当λ＝－2时，q＝－1，b1＝1，则数列{bn}是首项为1、公比为－1的等比数列．(2)由(1)知an＋1－2an＝(－1)n＋1(n≥1)，所以an＋12n＋1－an2n＝－1n＋12n＋1＝－12n＋1(n≥1)，当n≥2时，an2n＝a121＋a222－a121＋a323－a222＋…＋an2n－an－12n－1＝12＋－122＋－123＋…＋－12n＝12＋－1221－－12n－11－－12＝12＋161－－12n－1.因为a121＝12也适合上式，所以an2n＝12＋161－－12n－1(n≥1)．所以an＝13[2n＋1＋(－1)n]．则Sn＝13[(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n]＝1341－2n1－2＋－11－－1n1－－1＝132n＋2－4＋－1n－12.第8页共8页高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库