H矩阵预条件对角占优性的改进--王佳佳

H矩阵的预条件对角占优性王佳佳指导教师:王学忠（河西学院数学与统计学院甘肃张掖734000）摘要文[7]中作者研究了如何建立适当的预条件矩阵,把一个非对角占优的H矩阵转化为对角占优矩阵,在文[7]的基础上，我们进一步讨论了对角占优性与参数的关系，得到了对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据。关键词迭代法;H矩阵;预条件矩阵;对角占优性中图分类号O151.26PreconditionedDiagonallyDominantPropertiesofH-matrixLiXiaomeiInstructor:WangXuezhong(SchoolofMathematicsandStatistics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)AbstractIn[7],LiandWangstudiedhowtoestablishappropriatepreconditionedmatricesfortransformingaH-matrixwhichisnon-diagonallydominantmatrixintothediagonallydominantmatrix.Inthispaper,wediscusstherelationbetweenthediagonallydominantpropertiesandparametersbasedontheconclusionof[7]andobtaintheparametersonbestdiagonallydominantproperties.KeywordsIterativemethod;H-matrix;Preconditionsmatrix;Diagonallydominantproperties1引言对于给定的线性方程组bAx,(1)其中nnRA和nbR已知,nxR未知.当用迭代法求解时迭代格式为,2,1,)1()(kcGxxkk,其中nnGR称为迭代矩阵,(0)nxR称为初值[1].我们用到的经典迭代法有Jacobi迭代法[1],Gauss-Seidel迭代法[1],SOR(10)迭代法[1],它们的迭代格式分别为,2,1,)(1)1(1)(kbDxCCDxkULk,,2,1,)()(1)1(1)(kbLIUxLIxkk,)(,2,1,)(])1[()(1)1(1)(为实数kbLIxUILIxkk,而且当系数矩阵A为严格对角占优矩阵时,这三种迭代法都收敛[2],当系数矩阵的对角1占优性越强时,迭代法的收敛速度越快.但是,在实际问题中我们所遇到的系数矩阵A不一定严格对角占优,因此,对原方程组进行预条件等价变形,把非对角占优矩阵转化为对角占优矩阵便显得十分重要.例如,我们可以找两个非奇异矩阵P和Q使得PAQ严格对角占优,这样便把解bAx的问题转化为解其同解问题PAQyPb,(2)和xQy.因此,找到好的P和Q便成为问题的关键,其中P和Q称为预条件矩阵[5].对P和Q的选取方式有很多种,现在已有许多形式上比较简单的预条件稀疏矩阵,具体形式可参考文献[5，7].本文在文[7]的基础上主要考虑PAQ与AQ的对角占优性之间的关系，找到了PAQ比AQ的对角占优性最强时的参数取值，为应用提供了理论依据.2预备知识定义1[3]设nnijRaA)(,若A可以表示为BsIA,其中0B,则当)(Bs时,称A为非奇异的M矩阵,简称M矩阵.定义2[4]设nnijCaA)(,令),,,(2211nnaaadiagD,ADC,则称矩阵||||CD为A的比较矩阵,记作A,即||||||||||||||||||212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA,其中||D,||C表示以D和C中元素的模为元素的矩阵.若A是非奇异的M矩阵,则称A为非奇异的H矩阵,简称H矩阵.定义3[3]设nnijCaA)(,若A满足||||,1,2,,iiijjiaain,且至少有一个i使上述不等式严格成立,则称A为弱严格对角占优矩阵;如果上述n个不等式都严格成立,则称A为严格对角占优矩阵.定义4[3]设nnijCaA)(,若存在正对角矩阵Q,使得)(QAAQ为行（列）严格2对角占优矩阵,则称A为行（列）广义对角占优矩阵.引理1[4]A是H矩阵的充要条件是存在0r使0rA,其中Tnrrrr),,,(21.引理2[5]A是对角元全为1的H矩阵,若)(1ijmA,则成立不等式nimnjij,,2,1,11.引理3[5]A是H矩阵的充要条件是存在正对角矩阵Q,使得)(QAAQ为行（列）严格对角占优矩阵.3主要结论及证明若A是对角元全为1的H矩阵,我们考虑文[7]中提到的如下预条件矩阵nnRP和nnRQ,000000000000100010001)(2211ntnsraaaSIP,0),,,(2211nnqqqdiagQ,其中),,,(21n是参数.定理1若A是对角元全为1的H矩阵，假设存在一个正的向量12(,,)Tnrrrr使得0()2,1,2,,.iArin让()2||||[2()]immimmimarcarArAr，那么1c.证明由0()2,1,2,,iArin知，()2||()2||||[2()]2||1.immimmimmimmiimararcararArArAr定理2A是对角元全为1的H矩阵,假设存在一个正向量Tnrrrr),,,(21,使得0()2,1,2,,iArin,如果满足条件0ic,那么,AP是H矩阵,并且AQP是严格对角占优矩阵,其中n,,,21是常数.证明让,,1,2,,,,,,ijiimmjijPAaaaijnmrst,取Tnrrrr),,,(21,则irAP)(,|1|||iimmiiimiimmijiimmjjjimaaraaraaar,,||1||||iiimmiiiimmijjiimmjjjimjimraarararaar，3（1）当1i时，irAP)(,,||||||iiimmiiimmiimmijjiimmjjjimjimraararararaar||(||)iijjiimmmjjjijirararar()()iiimmAraAr0,（2）当1ic时，irAP)(,,||||||iiimmiiimmiimmijjiimmjjjimjimraararararaar||2(||2)iijjimmiimmmjjmjijirararararr()2[2()]iimmiimmmArararAr0.因此,AP是H矩阵,并且AQP是严格对角占优矩阵.从上面的证明我们可以看出,定理1的结论很好,但在具体的应用过程中,我们很难确定r和Q的数值,从而给解题带来不便,因此可考虑对r和Q取特殊值来避免此不便.现对r和Q取特殊值为TeeAr)1,,1,1(,01,)(rdiagQ,可得下面的定理.推论1A是对角元全为1的H矩阵,让TeeAr)1,,1,1(,01和)(rdiagQ，如果12||||(21),1,2,,,,,,immimmiararinmrst,那么,AP是H矩阵,并且AQP是严格对角占优矩阵,其中n,,,21是常数.定理3A是对角元全为1的H矩阵,让TeeAr)1,,1,1(,01和)(rdiagQ，如果2(21)1=1+,1,2,,,,,,21mmimrrinmrstr,那么AQP是比AQ对角占优性更强的矩阵.4证明显然11+121mr，只需表明()()1,1,2,,iiPArArin即可，（1）当1i时，irAP)(,,||||||iiimmiiimmiimmijjiimmjjjimjimraararararaar||(||)iijjiimmmjjjijirararar1iima1,（2）当2(21)1mmirr时，irAP)(,,||||||iiimmiiimmiimmijjiimmjjjimjimraararararaar||2(||2)iijjimmiimmmjjmjijirararararr12[21]immiimmarar1.参考文献[1]刑志栋,曹建荣.矩阵数值分析[M],第2版.西安:陕西科学技术出版社,2005.9.[2]张凯院,徐仲.数值代数[M],第2版.北京:科学出版社,2006.8.[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M],第2版.北京:科学出版社,2007.8.[4]黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京:科学出版社,2007.8.[5]王学忠.H矩阵方程组的预条件迭代法和预条件对角占优性[D].电子科技大学硕士学位论文,2007.[6]王学忠,黄廷祝,李良.H矩阵方程组的预条件迭代法[J].计算数学,29(2007):89-96.[7]李晓梅，王学忠.H矩阵方程组的预条件对角占有性[D].河西学院毕业论文论文,2011.