IIR滤波器直接设计的帕德逼近算法

设计IIR数字滤波器的帕德算法：IIR滤波器常用的设计方法有利用模拟滤波器设计数字滤波器的间接设计法以及有直接在时域或频域内逼近设计的直接设计法，下面着重介绍时域内直接设计的帕德逼近法，这也是本设计中采用的算法。已知IIR滤波器的系统函数为：001()()1MiikiNikiibzHzhkzaz帕德逼近法设计要求所设计的IIR滤波器的单位取样响应()hk，在01kp的范围内逼近一个所希望的响应()dhk。在各种各样的条件下，巴勒斯等人证明，在所有选择的各组ai，ib中，可以找到一组ai，ib使得以下的加权均方误差值最小。120[()()]()pdkhkhkk其中()k是误差序列的正加权函数。因为()hk是滤波器参量ai，ib的非线性函数，故只能用迭代法得到的最小值。当p=M+N+1时，解M+N+1个线性方程，可以得到使为极小值的滤波器参量。假设001ab，则上式可以写成1000()pNMkiiiikiihkzazbz因为p=M+N+1,故000()MNNMkiiiikiihkzazbz令两边z的同次幂系数相等，即可得到（M+N+1）个线性方程。由此对一般k可得公式为0()Nikiahkjb0,1,....Mk0()0NjjahkjkM因为希望()hk充分逼近()dhk，所以用()dhk代替()hk来解上两式，即：（1）令()()dhkhk（k=M+1,M+2,….,M+N）,由上式求得N个系数ak（2）求得ak后，令()()dhkhk（k=0,1,2,…,M）,可求得M+1个系数kb。由于无限长脉冲响应系统一定满足MN，故方程可解。这样便求出了H(Z)。表示为矩阵形式为：011221(0)000(1)(0)00(2)(1)(0)000()()MNbhabhhabhhhbahKhKN也可表示为下面的分块形式0121(0)00()(0)(1)0(K)()MNbhaabhMhhMahhKN也即：120bhah上式中K=M+N，则2h有N行和N+1列，并且因01a可以得到'''3hha'h是2h的第一列，3h是剩余的N方阵，''a是省略0a的a矩阵。可以用下面的关系式解出系数''1'3ahh1bha帕德逼近法是用一个有理函数去逼近一个幂级数，实质是让H(z)的幂级数展开式的前（M+N+1）项的单位取样响应h(k)等于所要求的单位取样响应，并且对之后的项不考虑。采用这种设计法时要求整个时间响应或频率响应的逼近偏差不要太大。但实际上，没有简单的方法来限制逼近的偏差。由于帕德逼近算法只考虑了时域条件，所以当滤波器的频率特性阻带衰减到40dB时，这个方法就难以达到要求，但是由这一方法得到的系数，可以作为更完善的最优算法的初始估计值。