k52006年高考第一轮复习数学3.1数列的概念

知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有仅供参考第三章数列●网络体系总览数列定义及有关概念等差数列等比数列递推数列数列的通项=anSn=1,当1时SSnnn-,当≥2时-1a=andn1+(-1)aa=dnnn-(≥2)-1a=adnn+1+a=anmdnm+(-)等差中项：=Aab+2S=nnaa(+)1n2S=nna1+nnd(-1)2a=aqn1·n-1(,≠0)aq1a=ann+1q,(,)aqn≠0anan-1qn(≥2)=等比中项：±G=abS=nnaq=1(1)aa1-nq1-q1-qaq1(1-)(≠1)q=na=aqnm·nm-应用●考点目标定位1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力.●复习方略指南本章在历年高考中占有较大的比重，约占10%～12%，特别是2002年共计26分，占17%，2003年共计21分，占14%，2004年26分，占17%.考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识.纵观近几年的高考试题，可发现如下规律：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1知识就是力量和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.3.1数列的概念●知识梳理1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第n项.（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.2.通项公式如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）.并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.3.数列的前n项和数列{an}的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示.Sn与通项an的基本关系是：an=11nnSSS).2(),1(nnSn=a1+a2+…+an.4.数列的分类（1）按项分类有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限.（2）按an的增减性分类递增数列：对于任何n∈N*，均有an+1＞an；递减数列：对于任何n∈N*，均有an+1＜an；摆动数列：例如:－1，1，－1，1，…；常数数列：例如：6，6，6，6，…；有界数列：存在正数M使|an|≤M，n∈N*；无界数列：对于任何正数M，总有项an使得|an|＞M.5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.●点击双基1.数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于知识就是力量A.1661B.925C.1625D.1531解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=49，a5=1625，∴a3+a5=1661.解析二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an=n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1=（n－1）2.两式相除an=（1nn）2，∴a3=49，a5=1625.∴a3+a5=1661.答案：A2.已知数列{an}中，a1=1，a2=3，an=an－1+21na（n≥3），则a5等于A.1255B.313C.4D.5解析：令n=3，4，5，求a5即可.答案：A3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=90n（21n－n2－5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月解法一：由Sn解出an=301（－n2+15n－9），再解不等式301（－n2+15n－9）＞1.5，得6＜n＜9.解法二：将选项中的月份代入计算验证.答案：C4.已知an=20012000nn，且数列{an}共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.解析：an=20012000nn=1+200120002001n，又44＜2001＜45，2001－2000＞0，故第45项最大，第44项最小.答案：4544●典例剖析【例1】在数列{an}中，a1=1，an+1=nnnaa1，求an.剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为11na－na1=n，知识就是力量∴21a－11a=1，31a－21a=2，41a－31a=3，…，na1－11na=n－1.相加得na1－11a=1+2+…+（n－1），∴an=222nn.评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.【例2】有一数列｛an｝，a1＝a，由递推公式an＋1＝nnaa12，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：∵a1＝a，an＋1＝nnaa12，∴a2＝aa12，a3＝2212aa＝aaaa12114＝aa314，a4＝3312aa＝aaaa3141318＝aa718.观察规律：an＝yaxa1形式，其中x与n的关系可由n＝1，2，3，4得出x＝2n－1.而y比x小1，∴an＝aann)12(1211.评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.知识就是力量【例3】已知数列{an}的通项公式an=cn+nd，且a2=23，a4=23，求a10.剖析：要求a10，只需求出c、d即可.解：由题意知,2344,2322dcdc解得.2,41dc∴an=41n+n2.∴a10=41×10+102=1027.评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想.●闯关训练夯实基础1.若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中，能取遍数列{an}前8项值的数列是A.{a2k+1}B.{a3k+1}C.{a4k+1}D.{a6k+1}解析：由已知得数列以8为周期，当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a3k+1}能取遍前8项.答案：B2.设an＝－n2＋10n＋11，则数列｛an｝从首项到第______________项的和最大.A.10B.11C.10或11D.12解析：an＝－n2＋10n＋11是关于n的二项函数，它是抛物线f（x）＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.另解：由－n2＋10n＋11≥0得－1≤n≤11，又n∈N*，∴0＜n≤11.∴前10项为正，第11项为0.答案：C3.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，写出此数列的前三项：______________，______________，______________.解析：由题意得22na=nS2，由此公式分别令n=1，n=2，n=3可依次解出前三项.答案：26104.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________________个点.(1)(2)(3)(4)(5)解析：观察图中五个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n个图中个数为（n－1）×n+1=n2－n+1.答案：n2－n+15.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式.解：由已知Sn+1=2n－1，得Sn=2n+1－1，故当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn－Sn－知识就是力量1=2n，故an=n23).2(),1(nn6.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2nS=an+1，求an.解：由已知2nS=an+1，得当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=Sn－Sn－1，代入已知有2nS=Sn－Sn－1+1，即Sn－1=（nS－1）2.又an＞0，故1nS=nS－1或1nS=1－nS（舍），即nS－1nS=1（n≥2），由定义得{nS}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴nS=n.故an=2n－1.培养能力7.（理）已知函数f（x）=－2x+2（21≤x≤1）的反函数为y=g（x），a1=1，a2=g（a1），a3=g（a2），…，an=g（an－1），…，求数列{an}的通项公式.解：由已知得g（x）=－2x+1（0≤x≤1），则a1=1，an+1=－21an+1.令an+1－P=－21（an－P），则an+1=－21an+23P，比较系数得P=32.由定义知，数列{an－32}是公比q=－21的等比数列，则an－32=（a1－32）·（－21）n－1=32［1－（－21）n］.于是an=34－32（－21）n.（文）根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：（1）3，5，9，17，33，…；（2）32，154，356，638，9910，…；（3）2，－6，12，－20，30，－42，….解：（1）联想数列2，4，8，16，32，…，可知所求通项公式为an=2n+1.（2）分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n}；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，…，故所求通项公式为an=)12)(12(2nnn.（3）将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，…，于是可得已知数列的通项公式为an=（－1）n+1·n（n+1）.8.已知数列{an}的通项an=（n+1）（1110）n（n∈N）.试问该数列{