k52006年高考第一轮复习数学35数列的应用

知识就是力量本文为自本人珍藏版权所有仅供参考3.5数列的应用●知识梳理1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.●点击双基1.已知{an}是递增的数列，且对于任意n∈N*，都有an=n2+λn成立，则实数λ的取值范围是A.λ＞0B.λ＜0C.λ=0D.λ＞－3解析：由题意知an＜an+1恒成立，即2n+1+λ＞0恒成立，得λ＞－3.答案：D2.设a1，a2，…，a50是从－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，则a1，a2，…，a50中有0的个数为A.10B.11C.12D.13解析：将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+…+a502=39，故此50个数中有11个数为0.答案：B3.如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是_______________.1223434774511141156162525166解析：设第n行的第2个数为an，不难得出规律，则an+1=an+n，累加得an=a1+1+2+3+…+（n－1）=222nn.答案：222nn4.已知an=logn+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算a1·a2=log23·log34=2lg3lg·3lg4lg=2，a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log67·log78=2lg3lg·3lg4lg·…·6lg7lg·7lg8lg=3.……定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k（k∈N*）叫做企盼数.试确定当a1·a2·a3·…·ak=2008时，企盼数k=______________.知识就是力量解析：由a1·a2·…·ak=2lg3lg·3lg4lg·4lg5lg·…·)1lg()2lg(kk=2lg)2lg(k=log2（k+2）=2008，解之得k=22008－2.答案：22008－2●典例剖析【例1】（2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:（1）2005年底的住房面积为1200（1+5%）－20=1240（万平方米），2006年底的住房面积为1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.（2）2024年底的住房面积为1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20=1200（1+5%）20－20×05.0105.120≈2522.64（万平方米），∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.【例2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.an=1000+（n－1）·100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.依题意，得1000n+2)1(nn×100+（100n+800）（15－n）+2)14)(15(nn×（－100）=21300（1≤n≤15）.整理化简得n2－31n+198=0.解得n=9或22（不合题意，舍去）.答：在第9天达到运送食品的最大量.评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.知识就是力量（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=104，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列{an}的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分1002an后剩余的面积10098an，另一部分是新绿化的面积1008bn，于是an+1=10098an+1008bn=10098an+1008（1－an）=109an+252.（2）an+1=109an+252，an+1－54=109（an－54）.数列{an－54}是公比为109，首项a1－54=104－54=－52的等比数列.∴an+1=54+（－52）（109）n.（3）an+1＞60%，54+（－52）（109）n＞53，（109）n＜21，n（lg9－1）＜－lg2，n＞3lg212lg≈6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.思考讨论你知道他是怎么想出{an－54}中的54来的吗？●闯关训练夯实基础1.某林厂年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量xm3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是A.32SB.34SC.36SD.38S解析：一次砍伐后木材的存量为S（1+25%）－x；二次砍伐后木材存量为［S（1+25%）－x］（1+25%）－x.由题意知（45）2S－45x－x=S（1+50%），解得x=36S.答案：C2.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，知识就是力量若第n层与第n+1层花盆总数分别为f（n）和f（n+1），则f（n）与f（n+1）的关系为A.f（n+1）－f（n）=n+1B.f（n+1）－f（n）=nC.f（n+1）=f（n）+2nD.f（n+1）－f（n）=1答案：A3.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元.解析：存款从后向前考虑（1+p）+（1+p）2+…+（1+p）5=ppp]1)1)[(1(6=p1［（1+p）7－（1+p）］.注：2008年不再存款.答案：p1［（1+p）7－（1+p）］4.某工厂去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________.解析：每年的总产值构成以a（1+10%）=1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，∴S5=1.11)1.11(1.15a=11×（1.15－1）a.答案：11×（1.15－1）a5.从盛满aL（a＞1）纯酒精容器里倒出1L，然后再用水填满，再倒出1L混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.解：每次用水填满后酒精浓度依次为aa1，（aa1）2，（aa1）3，…，故每次倒出的纯酒精为1，aa1，（aa1）2，…，（aa1）n－1，….∴第九、十两次共倒出的纯酒精为（aa1）8＋（aa1）9＝（aa1）8（1＋aa1）＝98)1)(12(aaa.培养能力6.已知直线l上有一列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，其中n∈N*，x1=1，x2=2，点Pn+2分有向线段1nnPP所成的比为λ（λ≠－1）.（1）写出xn+2与xn+1，xn之间的关系式；（2）设an=xn+1－xn，求数列{an}的通项公式.知识就是力量解：（1）由定比分点坐标公式得xn+2=11nnxx.（2）a1=x2－x1=1，an+1=xn+2－xn+1=11nnxx－xn+1=－11（xn+1－xn）=－11an，∴nnaa1=－11，即{an}是以a1=1为首项，－11为公比的等比数列.∴an=（－11）n－1.7.（2002年春季北京，21）已知点的序列An（xn，0），n∈Ｎ*，其中xl＝0，x2＝a（a＞0），A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….（1）写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式（n≥３）；（2）设an＝xn＋1－xn，计算al，a2，a3，由此推测数列｛an｝的通项公式，并加以证明.解：（1）当n≥3时，xn=221nnxx.（2）a1=x2－x1=a，a2=x3－x2=212xx－x2=－21（x2－x1）=－21a，a3=x4－x3=223xx－x3=－21（x3－x2）=－21（－21a）=41a，由此推测：an=（－21）n－1a（n∈N*）.证明如下：因为a1=a＞0，且an=xn+1－xn=21nnxx－xn=21nnxx=－21（xn－xn－1）=－21an－1（n≥2），所以an=（－21）n－1a.探究创新8.（2004年春季北京，20）下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）…a1j…712（）（）（）…a2j…（）（）（）（）（）…a3j…（）（）（）（）（）…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.（1）写出a45的值；（2）写出aij的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.（1）解：a45=49.（2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j－1），知识就是力量第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j－1），……第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j.（3）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），从而N=k（2l+1）+l=akl，可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.●思悟小结1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.●教师下