Mathematica教程07自定义函数

►Down◙Main自定义函数简单函数的定义复杂情况纯函数函数的属性►Down◄Up◙Main简单函数的定义自定义函数的方法f[x_]:=x^2+yf[2]f[y]f[a-1]在例中,In[1]定义了数学意义上的函数f(x)=x^2+y,自定义函数仍用:函数名[自变量]的形式，其中自变量x用x_表示,而=用:=表示,等号右边的数学表达式按常规形式.这一步执行后,没有输出结果，但Mathernatica记忆了关系式f[x_]:=x^2+y。►Down◄Up◙Main在例中首先定义了自变量是u,v的二元函数f(u,v)=u^2-v^2,在In[3]中以u=1,v=l+x代入得到函数值1-(l+x)^2，在In[4]和In[5]中就是对表达式1-(1+x)^2求导和积分。这说明，对自定义函数仍可按人的意图进行各种符号运算。不过在Mathematica中自定义函数时，格式较为特殊，容易出现错误。►Down◄Up◙Main与x_的区别g[x]:=x^2+y;f[x_]:=x^2+yg[2];f[2]g[y];f[y]f[x_]可以定义函数,g[x]不能定义一个函数Mathematica只记住了符号g[x]表示x^2+y，但g[2]和g[y]等并没有值被求出。Mathematics约定f[x]中的x_表示函数f的自变量，而f[x]表示函数f当自变量取值为x时的函数值。►Down◄Up◙Main“:=”与“=”的差别如果将例中的:=改用=,却一切正常,看不出问题.但它们的差别可由下例说明。两种等号的差别之一:x=2;f[x_]=2x;g[x_]:=2x;?f?gf[3]g[3]在例中因为开始己经定义x=2,当使用“=”定义f(x)时，立即将右边的数学表达式进行求值，将x=2代入得到函数定义式f[x_]=4，Mathematica记忆的是f[x_]=4。而使用“:=”时，Mathematics总是将输入的函数定义式原样记忆。►Down◄Up◙Main如果事先没有定义x=2,则不会出现上述问题，被Mathematica记忆的仍是f[x]=2x.使用表达式f[x_]=2x与使用表达式f[x_]:=2x没有区别，再求f[3]时都是将x=3代入定义式右边的数学表达式，得到6。也就是说，都可以理解成了f(x)=2x了，因此两种等号没有差别。二种等号的差别之二►Down◄Up◙Main在例中前一个函数定义后右边的积分立即被求出，而后一个函数在定义后并不进行积分，再求函数值时才进行积分.使用“?”查看可知，被Mathematica记忆的函数表达式不同。使用“=”时立即对右边的数学表达式进行计算，使用“:=”时右边的数学表达式不变，当求函数值时才进行计算。定义函数时，两种等号都可以使用，应当弄清两者的差别适当选用，不要造成定义函数必须使用“:=”的错觉。►Down◄Up◙Main由多个表达式定义的函数可以使用递推公式定义函数。自定义计算n!的函数。f[0]=1;f[n_]:=nf[n-1];f[10]说明:在例中In[1]定义了函数值f[0],In[2]的函数定义式是递推公式,由此实际上定义了f(n)=n!.但以上定义有缺陷,如果求f[0.5]就会出错，因为Mathematica并不认为n表示非负整数。解决方法是用n_Integer?Positive替代n_,说明n是整数(头为Integer)并且满足是正数的条件,其中问号是后一条件的分隔符.►Down◄Up◙Main参数个数不确定的函数定义一个函数时，允许事先对参数指定默认值，如果使用时不给出参数值，就自动将默认值作为参数值。这样的参数格式如下:x_:v其中冒号后面的v表示参数x的默认值.f[x_,y_:0]:=x^2+y^2;f[3];f[3,4]以上In[1]中定义了第2个参数的默认值为0，这样在求值时允许不给出第2个参数的值。但是如果两个参数都使用默认值，就会出问题，在In[2]中就无法识别所给的一个参数值究竟是赋给哪一个参数的。当只有一个可选参数时，使用以上方法是最方便的。►Down◄Up◙Main复杂情况(1)参数的一般表示法_可以表示任何一个表达式x_代表一个名为x的表达式.x_h代表一个名为x附加有限制性说明h的表达式.__可以代表任何一个或多个表达式x__可以代表名为x的一个或多个表达式.x__h代表名为x附加说明h的一个或多个表达式.___可以代表任何零个或多个表达式x___可以代表名为x的零个或多个表达式.x___h代表名为x附加说明h的零个或多个表达式.►Down◄Up◙Mainf[]:=2a;f[x];f[y+2];f[1,2]说明:上例定义的是一元函数，无论自变量取何值都得到同一函数值，实际上定义了一个常值函数。最后的f[1,2]是不合法的，因为一个下划线只能代表一个参数，Mathematica不能求值。f[__]:=x+y;g[___]:=ab;f[a];f[1,2,s];g[];g[r];g[1,2]说明:上述两个例子演示了单下划线、双下划线、三下划线的区别，一然而它们却没有实用价值，因为它们时函数定义式右边的数学表达式不起作用.真正有实用价值的应用是自定义带有可选参数的函数。►Down◄Up◙MainPlotsin[a_,b_,opt___]:=Plot[Sin[x],{x,a,b},opt];Plotsin[0,2Pi,AxesLabel-{t,r},AxesOrigin-{Pi,0}]可选项可以是任意多个或没有，因而在定义式中使用了三下划线.f[x__]:=0+x;g[x_,y__]:=xy;f[1,2,3,4,5];g[-1,2,3,4,5]说明:这两个自定义函数并不复杂，但会使人感觉到，使用个数不确定的参数，既令人费解又容易出错。以上作为函数参数使用的带有下划线的那些表达式称为模式，模式指明了参数的结构与名称►Down◄Up◙Main设置可选参数默认值的普遍方法如果可选参数较多，可以使用以下两种方法设置默认值:SetOptions[f,option1-value1,...]设置函数f的一个或多个可选参数的默认值。Options[f]={option1-value1,...}设置函数f的全部可选参数的默认值。以上两种设置方法的差别在于，后一个是设置全部可选参数的默认值，而前者可以只设置或改变部分默认值。后一函数还可以用于查阅默认值。►Down◄Up◙MainOptions[f]={a-1,b-2};f[x_,opt___]:ax^b/.{opt}/.Options[f]?f;f[2];f[2,b-3];f[2,a-2];f[2,a-2,b-3]以上函数的定义式的形式为:函数表达式/.输入的可选参数表/.默认的可选参数表。执行过程是:首先将非可选参数的值代入函数表达式，然后将输入的可选参数表中给出的可选参数值代入函数表达式，因为用户给出的可选参数值先进行替换，就不会再用默认值替换了。用户没有给出值的可选参数，最后一律被默认值替换。这里需要注意{opt}的格式，是将所有输入的可选参数表达式放入一个表中，这是操作符“/.”要求的。►Down◄Up◙Main纯函数纯函数的表达式Mathematica还使用一种特殊的函数表示式，能定义一种没有函数名字的函数，称这种函数为纯函数表达式:Function[自变量，函数表达式]表示一个函数。Function[x,x^2];Function[x,x^2][2];Function[x,x^2][3]也可以定义多元纯函数。Function[{x,y},Sin[x]Cos[y]];Function[{x,y},Sin[x]Cos[y]][2,3]►Down◄Up◙Main纯函数表达式的缩写形式以上纯函数表达式比普通函数的表达式还复杂，需要键入更多的字符。然而改用纯函数的缩写形式就方便了，缩写形式是:函数表达式&用&替代Function并省略自变量一项，其中一元自变量用特殊符号#表示，多元时用#n表示第n个自变量。%[2]f=Sin[#1]Cos[#2]&f[2,3]►Down◄Up◙Main说明:在例中In[1]是前例中定义的纯函数的缩写形式，在Out[1]中的#1与#意义相同，都表示自变量。缩写形式使纯函数表示法大大简化、用#字符表示自变量，用&表示纯函数。In[2]中的表达式%[2]即#1^2&[2]，表示当#1=2时的函数值.In[3]中将纯函数用f表示，因此In[4]中的f[2,3]也是求纯函数的函数值。引入纯函数，实际上给出了另一种定义函数f(x,y)=sin(x)cos(y)的方法，而且不必考虑自变量使用什么字符表示。还有符号##表示所有自变量，##n表示从第n个起往后的所有自变量。►Down◄Up◙Main函数的属性查看函数的属性函数的属性用于指明函数所具有的某些特殊性质,Mathematica的内部函数大都带有一些属性,也可以给自定义函数添加属性.查看Sin[x]的属性。Attributes[Sin]查看、建立和清除属性的Attributes[f]查看名为f的函数的属性。Attributes[f]＝{attr1,attr2,...}设置f的属性Attributes[f]＝{}设置f的无任何属性►Down◄Up◙Main添加和清除属性的函数。SetAttributes[f,{attr1,attr2,...}]添加属性到f的属性表中ClearAttributes[f,{attr1,attr2,...}]清除f的指定属性Clear[f]清除f的定义但不清除属性。ClearAll[f]清除f的定义和属性但不清除符号f。Remove[f]清除符号f.常用的函数属性(1)ProtectedProtected使函数的定义式受到保护，不能重新定义。Mathematica的内部函数都有此属性，以防被用户修改。除了使用上面列出的设置、添加、清除函数外，还有对这一属性的专门操作函数:►Down◄Up◙MainProtect[f]给函数f加上Protected属性.UnProtect[f]清除函数fProtected属性.注意，内部函数也能被解除保护、重新定义和重新加上保护，但重启Mathematica时自动恢复原状。f[x_]:=2xProtect[f]?ff[x_]:=3x(2)ReadProtected属性ReadProtected使函数的定义式不能用“?”查看，但是并不保护这个函数。►Down◄Up◙Main