mathematica教程高数

Mathematica教程一、Mathematica概述Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，它是一个功能强大的常用数学软件。以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。1、进入与退出进入：[开始][程序][Mathematica4]Mathematica4退出：鼠标点击界面右上角的关闭按钮即可。2、界面介绍菜单栏：file、edit、cell、format等。用户区：输入文本、Mathematica命令和程序。在用户区输入的内容被Mathematica用一个具有扩展名为*.nb的文件名来纪录，默认文件名为：“Untitled-1.nb”3、操作过程(1)、在Notebook用户区输入完Mathematica命令。(2)、按“Shift+Enter”组合键执行。4、简单示例例1求100!例2求2×42－10÷(3＋2)的值，再求该表达式的平方注：运算后出现的“In[1]:=”、“Out[2]=”等是计算机自动产生的。其中In[1]表示第一输入行，Out[1]表示第一输出行。则“In[n]:=”、“Out[n]=”分别表示第n行的输入和输出。二、用Mathematica做代数基本运算1、数的运算符号数的运算有：加、减、乘、除和乘方，它们在Mathematica中对应的符号为：加（＋）、减（－）、乘（*）、除（/）和乘方（^）。2、数学常数Pi()表示圆周率=3.14159…E表示自然数e=2.71828…Degree表示几何的角度1或/180I表示虚数单位-1开平方IInfinity()表示数学中的无穷大3、常用函数函数表达式数学含义Exp[x]表示以E为底的指数函数exSqrt[x]表示开方函数Log[x]表示以E为底的自然对数函数lnxLog[a,x]表示以a为底的对数函数logaxSin[x],Cos[x]表示正弦函数sinx,余弦函数cosxTan[x],Cot[x]表示正切函数tanx,余切函数cotxArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x],ArcCot[x]分别表示反正弦、反余弦、反正切、反余切函数n!表示阶乘n(n-1)(n-2)…1注意：函数名的第一个字母必须大写.x4、精确数与近似数Mathematica的近似数是带有小数点的数；精确数是整数、有理数、数学常数等。如果参与运算的数都是没有小数点的数，则结果将用精确数方式输出；如果参与运算的数带有小数点，则运算结果通常为带有６位有效数字的近似数。如：In[1]:=2+Sin[1.0]Out[1]=2.84147（近似数）In[2]:=2+Sin[1]Out[2]=2+Sin[1]（精确数）Mathematica提供的N函数可以得到精确数的任意精度的近似结果，其调用方式有两个：(1)N[x,n]:将x转化成具有n位有效数字的近似实数(2)N[x]或x//N:将精确数x转化成近似实数（6位)如：In[3]:=2*E+Sin[Pi/5]//NOut[3]=6.02435In[4]:=N[2*E+Sin[Pi/5],17]Out[4]=6.02434890921056365、Mathematica中的变量(1)命名:以小写英文字母或以小写英文字母开头后跟若干字母或数字表示的字符串.(2)变量赋值方式：变量名=表达式如：In[1]:=x=2+2（*变量x存放了计算结果4）x*x-x+1（*这里x已经有值4,计算机自动代换)(3)清除变量：Clear[变量名1,变量名2,…]6、自定义函数(1)函数定义在Mathematica中除系统定义的函数外，用户还可以自己定义函数，其一般命令为：一般函数:函数名[自变量名_]=表达式分段函数:函数名[自变量名_]=If[条件,表达式]例1定义一个函数y=2sinx+x5In[5]:=y[x_]=2*Sin[x]+x^5Out[5]=x5+2sinx例2定义一个分段函数In[1]:=f[x_]:=If[x=0,x^2,x]In[2]:=f[-1.5]In[3]:=f[1.5](2)函数赋值直接赋值：y[3.2]、y[]等2,0(),0xxfxxx7、初等代数运算(1)多项式运算与因式分解Expand[多项式]将多项式按升幂展开Factor[多项式]将多项式进行因式分解Simplify[多项式]将多项式化为最简形式例1设q=(1+2x-y)2，将q展开.In[1]:=q=Expand[(1+2*x-y)^2]Out[1]=1+4x+4x2-2y-4xy+y2例2将多项式120-46x-19x2+4x3+x4分解因式.In[2]:=Factor[120-46*x-19*x^2+4*x^3+x^4]Out[2]=(-3+x)(-2-x)(4+x)(5+x)(2)把有理分式拆成简单分式(部分分式)之和命令形式：Apart[多项式]例3将有理分式拆成简单分式之和.In[3]:=y=(1-x^2)/(9+21*x+16*x^2+4*x^3)Apart[y]Out[3]=)23(21)23(252xx3224162191xxxx(3)解方程(组)命令形式1:Solve[方程,变量]功能：求多项式方程的所有根，当多项式方程的次数n4时，给出所有根的准确形式；当n4时，不一定能求出所有的根.例1求方程x2-1=0的根.In[1]:=Solve[x^2-1==0,x]Out[1]={{x→-1},{x→1}}命令形式2:Solve[{方程1,方程2,…,方程n},{变量1,变量2,…,变量n}]功能：求多项式方程的所有根.例2解方程组2x+y=4,x+y=3.In[2]:=Solve[{2*x+y==4,x+y==3},{x,y}]Out[2]={{x→1},{y→2}}命令形式3:NSolve[方程,变量]功能：求多项式方程的所有根的近似形式。命令形式4：NSolve[{方程1,方程2,…,方程n},{变量1,变量2,…,变量n}]功能：求多项式方程组所有根的近似形式。注意：所有命令中第一字母必须大写；方程中等号用双等号(==)。例3求方程组x+3y=0，x2+y2=1的所有近似根。In[10]:=NSolve[{x+3*y==0,x^2+y^2==1},{x,y}]Out[10]={{x→-0.948683,y→0.316228},{x→0.948683,y→-0.316228}}三、用Mathematica做高等数学1、极限运算命令形式1:Limit[f,x-x0]功能:计算x-x0时f的极限，其中f是x的函数。命令形式2:Limit[f,x-x0,Direction-1]功能:计算x-x0时f的左极限，其中f是x的函数。命令形式3:Limit[f,x-x0,Direction--1]功能:计算x-x0时f的右极限，其中f是x的函数。注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Mathematica的默认状态为求右极限。例计算下列极限(1)(2)(3)(4)In[1]:=Limit[(E^(2*x)-1)/x,x-0]Out[1]=2In[2]:=Limit[2^(1/x),x-0]Out[2]=In[3]:=Limit[2^x,x-0,Direction-1]Out[3]=1In[4]:=Limit[ArcTan[x],x-Infinity]Out[4]=xeLimxx120xxLim102xxLim20xLimxarctan22、求导数与微分(1)求导数命令形式1:D[f,x]功能:求函数f对x的导数。例1求的导数。In[1]:=D[x^8*Sin[3x],x]Out[1]=3x8Cos[3x]+8x7Sin[3x]命令形式2:D[f,{x,n}]功能:求函数f对x的n阶导数。例2求的三阶导数。In[2]:=D[x^8*Sin[x],{x,3}]Out[2]=168x6Cos[x]-x8Cos[x]+336x5Sin[x]-24x7Sin[x]xxy3sin8xxysin8(2)求微分：dy=f(x)dx命令形式：Dt[f]功能:对函数f(x)求微分df例3求y=sinx2的微分dy.In[3]:=Dt[Sin[x^2]]Out[3]=2xCos[x2]Dt[x]3、求不定积分与定积分(1)求不定积分命令形式:Integrate[f,x]例1计算In[4]:=Integrate[1/(Sin[x]^2Cos[x]^2),x]Out[4]=-Cot[x]+Tan[x]221dxsinxcosx(2)计算定积分命令形式1:Integrate[f,{x,xmin,xmax}]功能:xmin，xmax表示积分下限和上限。例2计算定积分In[5]:=Integrate[x5,{x,1,2}]Out[5]=21/2命令形式2:NIntegrate[f[x],{x,xmin,xmax}]功能:计算定积分的数值积分，xmin，xmax必须是数字。dxx2152111(1)xxxedxx例1计算定积分5222ee解:Integrate[(1+x-1/x)*Exp[x+1/x],{x,1,2}]Out[6]=例2计算定积分210xedx解:本题用定积分基本公式是积不出来的，但用上面命令2可以计算出结果：In[7]:=NIntegrate[Exp[x^2],{x,0,1}]Out[7]=1.46265(不用该命令，显示错误或不认识的符号)4、画一元函数图形命令形式1：Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]功能：描绘函数f(x)的图形，图形范围是自变量x满足xminxxmax的部分，其选择项参数值取默认值。例1画出函数y=sinx2在-5x5的图形In[8]:=Plot[Sin[x^2],{x,-5,5}]Out[8]=-4-224-1-0.50.511xeyx例2做出函数的图像解：In[9]:=Plot[E^x/(1+x),{x,-2,2}]-2-112-10-5510Out[9]=命令形式2：Plot[{f[x],g[x]},{x,xmin,xmax}]功能：在同一坐标系画多个函数的图形。例2在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=x的图形,自变量范围为:-2x2.In[10]:=Plot[{Cos[2x],x},{x,-2,2}]Out[10]=-2-112-2-112命令形式3:Plot[f[x],[x,xmin,xmax},PlotStyle-RGBColor[1,0,0]]功能：给图象加颜色。例3描绘函数的图形(红色).In[11]:=Plot[E(-x2),{x,-2,2},PlotStyle-RGBColor[1,0,0]]Out[11]=2xey)22(x-2-1120.20.40.60.815、画平面参数曲线图形命令形式1：ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax}]功能:画出平面参数曲线方程为：x=x(t),y=y(t)满足tminttmax的部分的一条平面参数曲线图形命令形式2：ParametricPlot[{{{x1[t],y1[t]},{x2[t],y2[t]},…},{t,tmin,tmax}]功能：在同一个坐标系中画出一组平面参数曲线，对应的参数曲线方程为：x1=x1(t),y1=y1(t);x2=x2(t),y2=y2(t);…,t满足tminttmax.例1画出半径为2的圆的图形解:由于圆为封闭曲线,故应该用参数绘图命令来画。半径为2的圆的参数方为:x=2cost,y=2sint(0t2)In[12]:=ParametricPlot[{2Cos[t],2Sin[t]},{t,0,2Pi}]-2-112-2-112Out[12]=6.求解微分方程命令形式1：Dsolve[eqn,y[x],x]功能：解y[x]的微分方程eqn,其中x为