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第七讲符号计算符号计算是数字运算的自然扩展，其特点包括：不受计算误差的困扰；计算可以给出完全正确的封闭解或任意精度的数值解；计算的指令比较简单，所需要的时间较长。目录7.1符号计算入门7.2符号对象的创建和使用7.3符号表达式的化简7.4符号微积分7.5符号方程求解7.1符号计算入门1．求解代数方程2．求解微分方程3．计算导数4．计算定积分自然科学理论分析中的公式、关系式及其推导是符号计算要解决的问题。MATLAB数值计算的对象是数值，而符号计算的对象则是非数值的符号字符串。1．求解代数方程2．求解微分方程3．计算导数4．计算定积分7.2符号对象的创建和使用7.2.1创建符号对象和表达式7.2.2符号和数值之间的转换在符号计算中，需定义一种新的数据类型sym类。sym类的实例就是符号对象，符号对象是一种数据结构，用来存储代表符号变量、表达式和矩阵的字符串。7.2.1创建符号对象和表达式1．符号常量2．符号变量3．符号表达式4．符号矩阵函数sym()和命令syms创建符号常量、变量、函数以及表达式（1）函数sym()函数sym()的具体使用方法如下：s＝sym(A)；s＝sym(‘A’)（2）命令syms命令syms的具体使用方法如下：symss1s2…sn注:各变量间用空格分隔，不用逗号1．符号常量符号常量是一种符号对象。数值常量如果作为函数命令sym()的输入参量，就建立了一个符号对象—符号常量。2．符号变量符号变量通常是由一个或几个特定的字符表示。符号变量的命名规则如下所示：变量名可以由英文字母、数字和下划线组成；变量名应以英语字母开头；组成变量名的字母长度不大于31个；区分大小写。3．符号表达式符号表达式是由以下部分组成的符号对象：符号常量；符号变量；符号运算符；专用函数。Matlab中，大部分运算符和函数支持符号运算。4．符号矩阵元素是符号对象的矩阵叫做符号矩阵。7.2.2符号和数值之间的转换1.Subs函数：subs(S)subs(S,new)S是符号表达式，new是新代入的变量或值2.Vpa函数：vpa(S)vpa(S,D)S是符号表达式，D是有效数字个数例：symsxy=x+x^2y=x^2+xsubs(y,'3')ans=12subs(y,'pi')ans=pi^2+pivpa(ans)ans=13.011197054679151857vpa(ans,7)ans=13.01127.3符号表达式的化简MATLAB提供函数实现对符号计算的结果进行化简和替换，如：因式分解；同类项合并；符号表达式展开、化简；通分、符号替换。工具：1．函数collect()2．函数expand()3．函数horner()4．函数factor()5．函数simplify()6．函数simple()1．函数collect()函数collect()将符号表达式中同类项合并，其具体使用方法如下：R=collect(S)：将表达式S中的相同次幂的项合并；R=collect(S,v)：将表达式S中变量v的相同次幂的项合并。例：z=sym('2*x^2+3*x^2+9*x')z=2*x^2+3*x^2+9*xcollect(z)ans=5*x^2+9*x2．函数expand()函数expand()将符号表达式进行展开，其具体使用方法如下：R=expand(S)：将表达式S中的各项进行展开。例：u=sin(2*x)u=sin(2*x)expand(u)ans=2*cos(x)*sin(x)3．函数horner()函数horner()将符号表达式转换成嵌套形式，其具体使用方法如下：R=horner(S)：将符号多项式矩阵S中的每个多项式转换成它们的嵌套形式。4．函数factor()函数factor()对符号多项式进行因式分解，其具体使用方法如下：R=factor(X)如果X是一个多项式或多项式矩阵，该函数将X表示成低阶多项式相乘的形式；如果X不能分解成有理多项式乘积的形式，则返回X本身。例：t=x^4-1t=x^4-1factor(t)ans=(x-1)*(x+1)*(x^2+1)5．函数simplify()函数simplify()将符号表达式按一定规则简化，其具体使用方法如下：R=simplify(S)：该函数可应用于包含和式、方根、分数的乘方、等符号表达式矩阵S。例：r=sin(x)*cos(x)r=cos(x)*sin(x)simplify(r)ans=sin(2*x)/26．函数simple()该函数是将符号表达式表示成最简形式，其具体使用方法如下：r=simple(S)用几种不同的算术简化规则对符号表达式进行简化，并显示中间过程；7.4符号微积分1．符号表达式的极限2．符号表达式的微分3．符号表达式的积分4．级数求和5．泰勒级数1．符号表达式的极限函数limit()求表达式的极限，其具体用法如下：limit(F,x,a)：求当x→a时，符号表达式F的极限；limit(F,a)：求符号表达式F的默认自变量趋近于a时的极限；limit(F)：求符号表达式F的默认自变量趋近于0时的极限；limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left')：分别求取符号表达式F的右极限和左极限。例：y=2*sin(x)/xy=(2*sin(x))/xlimit(y,x,0)ans=2函数diff()求表达式的微分，其具体用法如下：diff(S,‘v’)：将符号“v”视作变量，对符号表达式或矩阵S求微分；diff(S,n)：将S中的默认变量求n阶微分；diff(S,‘v’,n)：将符号“v”视作变量，对符号表达式或矩阵S求n阶微分。2．符号表达式的微分函数int()求表达式的积分，其具体用法如下：R=int(S)：用默认变量求符号表达式S的不定积分；3．符号表达式的积分R=int(S,v)：用符号标量v作为变量求符号表达式S的不定积分值；R=int(S,a,b)：符号表达式采用默认变量；R=int(S,v,a,b)：符号表达式采用符号标量v作为标量，求当v从a到b时，符号表达式S的定积分值。函数symsum()来对符号表达式进行求和，其具体用法如下：r=symsum(s,a,b)：求符号表达式s中默认变量从a到b的有限和；r=symsum(s,v,a,b)：求符号表达式s中变量v从a到b的有限和。4．级数求和例：y=1/n^2y=1/n^2symsum(y,1,inf)ans=pi^2/6函数taylor()对符号表达式进行泰勒级数展开，其具体用法如下：r=taylor(f)：返回f在变量等于0处的5阶泰勒展开式；r=taylor(f,n,v)：符号表达式f以符号标量v作为自变量，返回f的n-1阶泰勒展开式。r=taylor(f,n,v,a)：返回符号表达式f在v=a处的n-1阶泰勒展开式。5．泰勒级数例：y=cos(x);taylor(y,5)ans=x^4/24-x^2/2+17.5符号方程求解1．代数方程2．微分方程符号方程可以分为代数方程和微分方程。代数方程可以细分为线性方程和非线性方程两类；微分方程可以细分为常微分方程和偏微分方程。1．代数方程函数solve()求解代数方程，其具体用法如下：g=solve(eq)：其中eq可以是符号表达式或不带等号的字符串，该函数求解方程eq=0；g=solve(eq,var)：求解方程eq=0，其自变量由参数var指定；g=solve(eq1,eq2,…,eqn)：求解由符号表达式或不带等号的字符串eq1，eq2，…，eqn组成的方程组；g=solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)：求解由符号表达式或不带等号的字符串eq1，eq2，…，eqn组成的方程组。2．微分方程函数dsolve()求解微分方程，其具体用法如下。r=dsolve(‘eq1,eq2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)：求由eq1，eq2……指定的常微分方程组的符号解；r=dsolve('eq1','eq2',…,'cond1','cond2',…,'v')：求由eq1，eq2……指定的常微分方程组的符号解。END