MATLAB教程第二讲符号计算

第二讲MATLAB的符号计算所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所得到结果以标准的符号形式来表示。MathWorks公司以Maple的内核作为符号计算引擎（Engine），依赖Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：基本符号工具箱和扩展符号工具箱。一、符号计算基础一、符号计算基础（一）定义符号变量参与符号运算的对象可以是符号变量、符号表达式或符号矩阵。符号变量要先定义，后引用。可以用sym函数、syms函数将运算量定义为符号型数据。引用符号运算函数时，用户可以指定函数执行过程中的变量参数；若用户没有指定变量参数，则使用findsym函数默认的变量作为函数的变量参数。1、sym函数sym函数的主要功能是创建符号变量，以便进行符号运算，也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。用sym函数创建符号变量的一般格式为：x=sym(‘x’)其目的是将’x’创建为符号变量，以x作为输出变量名。每次调用该函数,可以定义一个符号变量。一、符号计算基础（一）定义符号变量【例1】作符号计算：a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，应先将a,b,x,y定义为符号运算量15byaxbyax一、符号计算基础（一）定义符号变量a=sym(‘a’);%定义‘a’为符号运算量，输出变量名为ay=2/bb=sym(‘b’);x=sym(‘x’);y=sym(‘y”);[x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)%以a,b为符号常数，x,y为符号变量即可得到方程组的解：x=3/ay=2/b一、符号计算基础（一）定义符号变量【例2】已知一复数表达式z=x+i*y,试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式。为了使乘积表达式x^2+y^2非负，这里，把变量x和y定义为实数。x=sym(‘x’,’real’);y=sym(‘y’,’real’);一、符号计算基础（一）定义符号变量z=x+i*y;%定义复数表达式conj(z);%求共轭复数expand(z*conj(z))%求表达式与其共轭复数乘积的多项式ans=x^2+y^2若要去掉’x’的属性,可以使用下面语句x=sym(‘x’,’unreal’)将’x’创建为纯格式的符号变量。一、符号计算基础（一）定义符号变量2、syms函数syms函数的功能与sym函数类似。syms函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为：symsarg1arg2…argN用于将rg1,arg2,…,argN等符号创建为符号型数据。一、符号计算基础（一）定义符号变量（二）默认符号变量在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数，而用排在后面的字母表示变量。例如：f=ax2+bx+c表达式中的a,b,c通常被认为是常数，用作变量的系数；而将x看作自变量。一、符号计算基础例如，数学表达式f=xng=sin(at+b)根据数学式中表示自变量的习惯，默认a,b,c为符号常数，x为符号变量。若在MATLAB中表示上述表达式，首先用syms函数定义a，b，n，t，x为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认a,b,c为符号常数，x，t为符号变量。即：对函数f求导为：df/dx对函数g求导为：dg/dt一、符号计算基础（二）默认符号变量为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名，可以用findsym函数查询默认的变量。该函数的引用格式为：findsym（f,n）说明：f为用户定义的符号函数，n为正整数，表示查询变量的个数。n=i,表示查询i个系统默认变量。n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。一、符号计算基础（二）默认符号变量【例3】查询符号函数f=xng=sin(at+b)中的系统默认变量。symsabntx%定义符号变量f=x^n;%给定符号函数g=sin(a*t+b);findsym(f,1)%在f函数中查询1个系统默认变量ans=x表示f函数中查询的1个系统默认变量为x。一、符号计算基础（二）默认符号变量（三）符号表达式符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。例如,数学表达式其符号表达式为：1+sqr(5*x))/2注意，在定义表达式前应先将表达式中的字符x定义为符号变量。251x一、符号计算基础（四）生成符号函数将表达式中的自变量定义为符号变量后，赋值给符号函数名，即可生成符号函数。例如有一数学表达式：222),(cbyaxyxf一、符号计算基础其用符号表达式生成符号函数fxy的过程为：symsabcxy%定义符号运算量fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2%生成符号函数生成符号函数fxy后，即可用于微积分等符号计算。一、符号计算基础（四）生成符号函数【例4】定义一个符号函数fxy=(a*x2+b*y2)/c2，分别求该函数对x、y的导数和对x的积分。symsabcxy%定义符号变量fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2；%生成符号函数diff(fxy，x)%符号函数fxy对x求导数ans=2*a*x/c^2diff(fxy，y)%符号函数fxy对y求导数ans=2*b*y/c^2%符号函数fxy对x求积分int(fxy，x)ans=1/c^2*(1/3*a*x^3+b*y^2*x)一、符号计算基础（四）生成符号函数二、微积分（一）微积分函数1.求极限函数limit用于求符号函数f的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能：二、微积分limit(f,x,a)：求符号函数f（x）的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f（x）函数的极限值。limit(f,a)：求符号函数f（x）的极限值。由于没有指定符号函数f（x）的自变量，则使用该格式时，符号函数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，既变量x趋近于a。limit(f)：求符号函数f（x）的极限值。符号函数f（x）的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。limit(f,x,a,'right')：求符号函数f的极限值。'right'表示变量x从右边趋近于a。limit(f,x,a,'left')：求符号函数f的极限值。'left'表示变量x从左边趋近于a。二、微积分【例5】求极限symsx；%定义符号变量f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3；%确定符号表达式w=limit(f)%求函数的极限w=-1/2xeextgxxx3sin0sin)1(2)1(lim二、微积分2.微分函数diff函数用于对符号表达式s求微分。该函数的一般引用格式为：diff(s,’v’,n)二、微积分说明：应用diff（s）没有指定微分变量和微分阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，‘v’）或diff（s，sym（‘v’））格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求一阶微分。应用diff（s，n）格式，表示对符号表达式s求n阶微分，n为正整数。应用diff（s，‘v’，n）diff（s，n，‘v’）格式，表示以v为自变量，对符号表达式s求n阶微分。【例6】求导数：x=sym('x');%定义符号变量t=sym('t');diff(sin(x^2))%求导运算ans=2*cos(x^2)*xdxxd2sin二、微积分3．积分函数积分函数int（s，v，a，b)可以对被积函数或符号表达式s求积分。其引用格式为：int（s，v，a，b)说明：应用int（s）格式，表示没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求一阶积分。应用int（s，v）格式，表示以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求一阶不定积分。应用积分函数时，如果给定a、b两项，表示是进行定积分运算。a、b分别表示定积分的下限和上限。不指定积分的下限和上限表示求不定积分。二、微积分【例7】求下述积分。求积分：symsxint(1/(1+x^2))ans=atan(x)dxx211二、微积分4.级数(级数求和)级数求和运算是数学中常见的一种运算。例如：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn函数symsum可以用于此类对符号函数f的求和运算。该函数的引用时，应确定级数的通项式s，变量的变化范围a和b。该函数的引用格式为：symsum(s,a,b)二、微积分【例8】求级数的和:键入：1/12+1/22+1/32+1/42+……symsksymsum(1/k^2,1,Inf)%k值为1到无穷大ans=1/6*pi^2其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+……=π2/6二、微积分三、简化方程表达式1.因式分解factor函数的功能为：把多项式S分解为多个因式，各多项式的系数均为有理数。格式为：factor(s)三、简化方程表达式【例9】将表达式(x^9-1)分解为多个因式。symsxfactor(x^9-1)ans=(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)2.嵌套将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的格式为：horner(s)三、简化方程表达式【例10】将表达式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。symsxhorner(x^3-6*x^2+11*x-6)ans=-6+(11+(-6+x)*x)*x四、解方程解方程函数的格式为：solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN)或solve(expr1,expr2,...,exprN)其功能为：求解代数方程组expr1,expr2,...,exprN的根，未知数为var1,var2,...varN。说明：若不指明符号表达式expr1,expr2,...,exprN的值，系统默认为0。例如给出一个表达式x^2-3*x-8,则系统将按x^2-3*x-8=0进行运算；四、解方程【例11】解代数方程：a*x2-b*x-6=0symsabxsolve(a*x^2-b*x-6)ans=[1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))][1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))]即该方程有两个根:x1=1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))；x2=1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))四、解方程