大学生数学建模竞赛模板--SARS模型灰色预测

1SARS对经济指标的影响王海燕徐昊天吴德春摘要本文针对SARS疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及其程度。为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。（1）SARS对零售业的影响为简化计算，我们以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大。从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。（2）SARS对海外旅游业的影响以1997--2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。利用MATLAB软件求解，得到的预测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。（3）SARS对综合服务业总额的影响以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程先预测出2003年的年总值，再根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月的预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。因此，我们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差2§1问题的提出背景知识与要解决的问题2003年SARS疫情席卷全球，对世界各国各地区各行业都造成一定的影响。我国部分行业的经济发展也受到了影响，特别是部分疫情比较严重的省市的相关行业所受到的影响是很明显的。经济影响主要分为直接影响和间接影响，直接影响涉及到商品零售业、旅游业、综合服务业等，很多方面难以进行定量地评估。现仅就SARA疫情较重的某城市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量评估分析。现测得某市从1997年1月-2003年12月的商品零售额、接待海外旅游人数、综合服务收入的统计数据(见附表一，二，三)，试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。§2问题的分析一、问题的归属和拟采用的方法由该市1997—2003年商品零售业、旅游业、综合服务业的数据，运用灰色预测方法，建立预测评估模型，预测2003年正常情况下（也即无SARS影响）的数据值，进而评估2003年SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。我们可以先利用灰色预测方法建立预测评估模型，从而预测出2003年各月正常情况下商品零售业总额、接待海外旅游人数、综合服务业累计数额，并与实际数据相比较，进而确定SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响二、对问题的具体分析和处理办法1、对零售业是否受SARS影响的分析：由附表一，对该市1997-2002年的历史商品零售额（单位：亿元）进行分析，做出各年各月零售额散点图像(如下图一)初次判定SARS对零售业有影响。利用灰色预测理论预测该市2003年商品零售业总额，并与该市2003年商品零售业实际总额比较，从而反映SARS疫情对该市2003年商品零售业的总体影响；然后根据历史平均比例可以计算出2003年该市各月份的预测商品零售业额，从而可以进一步分析SARS疫情给该市商品零售业各月份所造成的具体影响。0246810126080100120140160180200月份商品零售额各年各月商品销售额散点图1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年图1、各年各月零售额散点图2、对旅游业是否受SARS影响的分析：由附表二，对该市1997-2002年接待海外旅游人数（单位：万人）进行分析，作出图像（如下图2），初步判断SARS对旅游业有较大的影响。利用灰色预测理论建立1--123月的预测方程，即可预测2003年每月接待海外旅游人数，并与该市2003年接待海外旅游实际人数比较，进一步分析SARS疫情对旅游业的影响。02468101205101520253035月份海外旅游人数各年各月海外旅游人数散点图1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年图2、各年各月海外旅游人数散点图3、对综合服务业是否受SARS影响的分析：由附表三，对该市1997-2002年的综合服务业累计数额（单位：亿元）进行分析，作出图像（如下图3），初步判定SARS对综合服务业是没有影响的。为简化计算，我们把各年综合服务业总额向量作为参考数列，建立一个年总值的预测方程，然后根据所得预测值按比例即可求得各个月的预测值。题中所给只是1997--2003年2月到12月的数据，各年一月份的数据都是缺省的，这对模型的建立和分析并不会有很大影响，而且如果采用线性外插值法来补充数据又会造成一定的误差。所以，我们对原始数据不做修正。2345678910111205001000150020002500月份综合服务业累计数额各年各月综合服务业累计数额散点图1997年1998年1999年2000年2001年2002年2003年图3、各年各月综合服务业累计数额散点图§3模型的假设1、假设该市商品零售业、旅游业、综合服务业出现较大的波动都是由SARS引起的，不考虑其他因素的影响；2、假设在疫情流行后，该市人口并未发生大量的流动；3、假设不考虑该市有严重SARA传染者对经济的影响；4、假设这几年中没有发生通货膨胀和通货紧缩；5、所有数据均为原始数据，来源真实可靠。4§4名词解释与符号说明一、名词解释1、SARS：SARS就是传染性非典型肺炎，全称严重急性呼吸综合征（英文全称是SevereAcuteRespiratorySyndromes）；2、灰色预测：是基于灰色动态模型（GreyDynamicModel），简称GM的预测。灰色预测它是指利用MG的模型对系统行为特征的发展规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生的事件的未来时间分布情况做出研究等等。二、符号说明序号符号符号说明1)0(ix表示第i指标的参考数列2)1(ix表示通过极比数列的累加数列3)1(iy表示生成的均值数列4aˆ表示预测方程的发展系统5bˆ表示预测方程的灰作用量6)0(ˆix表示第i个指标的原始数据的预测7)1(ˆix表示第i个指标累加数列的预测8i表示用第i个指标的极比9im表示用第i个指标每月所占比例向量5§5模型的建立与求解一、对零售业是否受SARS影响的分析与求解1、对问题的分析利用灰色预测理论，根据该市1997--2002年商品零售业总额建立预测方程，进而预测该市2003年正常(也即无SARS疫情影响）情况下每月的综合服务业总额，再将实际的服务业总额与预测数值进行比较，评估2003年SARS疫情对该市零售业所造成的影响。2、模型Ⅰ建立预测方程通过计算得到1997年—2002年该市商品零售业总额数列，记为：1744.9)1593.71421.01301.71182.01051.4()0(1x做一次累加生成数列:)8294.76549.84956.13535.12233.41051.4()1(1x其中)62,1()()(1)0(1)1(1iixixij由)1(1x再求均值数列6,,3,2)1(5.0)(5.0)(11)0(1kkxkxky其中取0.5a编程计算得到）（7422357530424562884316424y(0)1于是建立灰微分方程：63,2)()(x)0(1)0(1kbkayk其中)()0(1kx称为灰导数，a称为发展系统，)()0(1ky称为白化背景值，b称为灰作用量。将6,,3,2k分别代入上式有：bayxbayxbayx)6()6(..........................)3()3()2()2()0(1)0(1)0(1)0(1)0(1)0(1相应的白化微分方程为btaxdtdx)(11，称之为GM（1，1）模型。令)6()3()2(000xxxYN，bau，1)6(1)3(1)2(000yyyB，则上式可以写成矩阵形式NYBu，6由最小二乘法，求使得)ˆ()ˆ()ˆ(uBYuBYuJNTN达到最小值的NTBYBBbau1)(ˆˆˆ于是有预测值12,1ˆˆ)ˆˆ)1(()1(ˆˆ)0(1)1(1nkabeabxkxka从而解得T3)07612711402760,1017.-0.0983214(ˆˆbau于是得到预测数列为10212.0)8287.16542.44961.13527.82228.81051.4(x(1)1于是在正常情况下，2003年该市商品零售业总额应为1924.9)6()7()1(1)1(1xx亿元。则测得结果数列与实际数列比较如下表所示。其中残差数列为1x1x1X*100%,通过残差数列可以看出该预测模型具有一定的精度。表一：预测结果数列与实际数列比较表（单位：亿元）)1(1x1051.42233.43535.14956.16549.88294.710211.4)0(1x1051.42228.83527.84961.16542.48287.110212.0100.21%0.21%0.10%0.12%0.09%0.01%3、模型Ⅱ该市2003年每个月商品零售额预测模型在SARS对该市2003年商品零售业总额的总体影响预测模型基础上，根据历史数据计算每个月的月份数据与年度总值的比值，从而预测出2003年各月正常情况下商品零售额，并与实际数据相比较，就可以确定SARS疫情对该市每个月商品零售业所造成的影响。设ijP表示第i年j第个月商品零售额，则第j个月的商品零售额占全年商品零售总额的比例为），；，，（1221j621ip61i121jij61iijjPP由matlab软件求得结果，我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。二、对旅游业是否受SARS影响的分析与求解1、对问题的分析由附表二，对该市1997-2002年的历史接待海外旅游人数（单位：万人）进行分析，利用灰色预测理论预测该市2003年接待海外旅游人数，并与该市2003年接待海7外旅游实际人数比较，从而反映SARS疫情对该市2003年旅游业的总体影响；然后根据历史平均比例可以计算出2003年该市各月份的预测接待海外旅游人数，从而可以进一步分析SARS疫情给该市旅游业各月份所造成的具体影响。2、对问题的求解（1）数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数列做必要的检验处理。我们把各年各月接待海外旅游人数向量作为参考数列，经过级比判断得到1B，其中有数据不在要求范围内，需进行转换，27c，得到Z根据下列公式计算数列的极比)6,,3,2(),()()1()(1212)0()0(keekxkxknn求得级比2B均落在了],[7272ee内，则Z可以作为模型GM(1，1)进行数据灰色预测。（2）建立模型)1,1(GM对数列Z做一次累加，求得1Z再1Z将根据公式)6,,3,2()1(5.0)(5.0)(112kkZkZkZ进行均值生成2Z由灰色预测理论，