MATLAB编程基础及应用)_第四章

第四章符号运算符号运算时数学计算的中国农药内容，特点是不带来计算误差，希望认真掌握本章内容。第一节符号变量的创建（1）直接用引号‘’创建（包括代数式）。（2）用函数sym（‘’）创建（包括代数）。注意：1）上述两种方法创建的符号变量所占空间不同2）符号代数式中的符号应另行创建。例如：y=sym('a*x^2+b')中，计算机智能识别单引号中的字符串，不能识别字符串中的部分字符，比如字符a,x,b等。（3）‘’中包括的空格等都视为符号。（4）已创建的符号变量及代数式可以进行赋值。（5）用函数syms串讲多符号变量，变量之间用空格分开。此方法一般只用于多符号变量的创建。（6）可用上述方法创建符号矩阵与复数型符号变量。第二节符号函数的运算对符号函数进行运算，首先必须（1）定义符号变量。（2）定义符号函数。1.函数求极限（1）findsym(f,n)查找函数f的变量次序，n是查找变量的个数。（2）limit(f,x,a)。对于符号函数f，求当变量x趋近于a时的极限值。对独立变量的函数f，x可省略。对多变量的函数f，变量x不可省。如果省略，计算机则按排序的第一个变量求极限。（e17t）（3）limit(f,x,a,'right'),（4）limit(f,x,a,'left'),（5）limit(f,x,a,'inf'),求0ln(12)limsin(3)xxx(e18t)（e17t）symsxabcf=sym('a*x^2+b*x+c')findsym(f,4)y(1)=limit(f,x,1);y(2)=limit(f,1);y(3)=limit(f,a,2);y(4)=limit(f,b,1);y(e18t)symsxf=sym('ln(1+2*x)/sin(3*x)')a=limit(f,0)(a其实是由符号组成，只是符号中没有包含变量)2.微分与积分的运算对可微函数f（1）微分：diff(f,v,n)。函数f中对符号变量v求n阶微分。当变量v和阶次n省略时，表示对单变量的函数求一节微分。对可积函数f（原函数存在）（2）积分：int(f,v,a,b)。函数f中队符号变量v求定积分，a和b分别是积分的上下限。int(f,v)。对变量v求不定积分。（exno19t）（e19t）symsxf=sym('x/(cos(x))^2')y1=diff(f)y2=int(f,0,1)3.梯度函数fradient(1)如果F是一维矩阵，则FX=grdient(F,H)返回F的一维数值梯度。H是F中相邻两点间的间距。(2)如果F是二维矩阵，返回F的二维梯度数值。[fx,fy]=gradient(f,hx,hy)。hx，hy参数表示各方向相邻两点间的距离。(3)如果f是三维矩阵，返回f的三维数值梯度。[fx,fy,fz]=gradient(f,hx,hy,hz)。hx,hy,hz参数表示各方向相邻两点的距离。(exno18tt)(e18tt)x=[123;631;312][ex,ey]=gradient(x,0.5,0.2)练习4-2平面上温度的分布为：T(x,y)=xe-x2-y2用灰度图反映（1）平面上温度的分布。（2）平面上温度梯度的分布。（exno20t）（exno14）需要掌握：（1）两个自变量矩阵x，y的构造（2）函数梯度的求解方法。（e20t）xx=-2:0.05:2;yy=-2:0.05:2;[x,y]=meshgrid(xx,yy);%将单变量构造网格矩阵%x和y都是a*b（a是y的列数）x每行都相等，列变化与xx相同。%y是每列都相等，行变化与yy的转置一样t=x.*exp(-x.^2-y.^2);%平面上的温度分布[px,py]=gradient(t,0.05,0.05);%平面上的温度梯度（两个方向）td=sqrt(px.^2+py.^2);%平米昂上的温度梯度的大小subplot(221)%imagesc(t)%作平面上的温度的分布图subplot(222)imagesc(td)%colormap('gray')%颜色矩阵4.符号代数方程（组）的求解solve（1）定义符号变量。（2）定义符号方程（组）（3）求解方程（组）格式一变量输出方式：[x1,x2,...xn]=solve(eq1,eq2,...e1n,x1,x2,...xn)格式二结构输出方式V=solve(eq1,eq2,...eq3,x1,x3,...xn)eq1....是符号方程x1....是求解未知数练习4-3求解方程组21212200xxxx注意：结构输出方式的现实为v.x1或v.x2V为结构输出的变量名（exno21t）（e21t）symsx1x2aeq1=sym('x1^2+x2=a');eq2=sym('x1-a*x2=a');[x1x2]=solve(eq1,eq2,x1,x2)v=solve(eq1,eq2)v.x1v.x2an1=x1(1),an2=x1(2)an3=x2(1),an4=x2(2)5.符号微分方程（组）的求解dsolve符号微分方程（组）可以直接求解，调用格式为格式1函数输出方程[y1,y2,...]=dsolve('方程1，方程2。。。','初条件1，初条件2。。。','自变量')格式2结构输出方程V=dsolve('方程1，方程2。。。','初条件1，初条件2。。。','自变量')注：当初条件和自变量省略时，解函数默认为自变量为t，并含有积分常数练习4-4（1）求解微分方程dyaydxy(0)=1格式1函数输出方式[y]=dsolve('Dy=-a*y','y(0)=1','x')格式2结构输出方程s=dsolve('Dy=-a*y','y(0)=1','x')(exno22t)注意微分算符的表达（答谢字母D），高阶为D2，D3。。。（e22t）[y]=dsolve('Dy=-a*y','y(0)=1','x')s=dsolve('Dy=-a*y','y(0)=1','x')[u]=dsolve('Du=-a*u','u(0)=1')w=dsolve('Du=-a*u','u(0)=1')（2）求解微分方程组*sin()(0)1(0)0duawdzdwzdzuw（exno23）特别需要注意的是，不是任何微分方程都能进行微分方程的求解，五解析解的微分方程需要用数值求解的方法记性，有关问题将在后面介绍。（e23）[u,w]=dsolve('Du=-a*w,Dw=sin(z)','u(0)=1,w(0)=0','z')v=dsolve('Du=-a*w,Dw=sin(z)','u(0)=1,w(0)=0','z')6.符号变量与数值变量的转换符号变量的运算结果仍然是符号，需要进行数值转化，有下面的相关函数：（1）vpa(f,d)：将符号函数f进行数值转换，有效位数为d。（2）double(f)：将不含自由变量的符号函数f做数值变换，有效位数固定为5位。（3）sbus(f,old,new)：将符号表达式中f中的自由变量名为old替换为新变量名new。注意：符号函数f中的自由变量时指非阿拉伯数值字符的符号变量。练习4-5求下列函数的根y=x2-x3-1（exno13）(e13)symsxf=sym('-x^3+x^2-1=0')v=solve(f)w=vpa(v,2)u=double(v)第五章符号运算符号运算时数学计算的中国农药内容，特点是不带来计算误差，希望认真掌握本章内容。第二节符号变量的创建（3）直接用引号‘’创建（包括代数式）。（4）用函数sym（‘’）创建（包括代数）。注意：3）上述两种方法创建的符号变量所占空间不同4）符号代数式中的符号应另行创建。例如：y=sym('a*x^2+b')中，计算机智能识别单引号中的字符串，不能识别字符串中的部分字符，比如字符a,x,b等。（7）‘’中包括的空格等都视为符号。（8）已创建的符号变量及代数式可以进行赋值。（9）用函数syms串讲多符号变量，变量之间用空格分开。此方法一般只用于多符号变量的创建。（10）可用上述方法创建符号矩阵与复数型符号变量。第三节符号函数的运算对符号函数进行运算，首先必须（3）定义符号变量。（4）定义符号函数。2.函数求极限（6）findsym(f,n)查找函数f的变量次序，n是查找变量的个数。（7）limit(f,x,a)。对于符号函数f，求当变量x趋近于a时的极限值。对独立变量的函数f，x可省略。对多变量的函数f，变量x不可省。如果省略，计算机则按排序的第一个变量求极限。（e17t）（8）limit(f,x,a,'right'),（9）limit(f,x,a,'left'),（10）limit(f,x,a,'inf'),求0ln(12)limsin(3)xxx(e18t)（e17t）symsxabcf=sym('a*x^2+b*x+c')findsym(f,4)y(1)=limit(f,x,1);y(2)=limit(f,1);y(3)=limit(f,a,2);y(4)=limit(f,b,1);y(e18t)symsxf=sym('ln(1+2*x)/sin(3*x)')a=limit(f,0)(a其实是由符号组成，只是符号中没有包含变量)3.微分与积分的运算对可微函数f（3）微分：diff(f,v,n)。函数f中对符号变量v求n阶微分。当变量v和阶次n省略时，表示对单变量的函数求一节微分。对可积函数f（原函数存在）（4）积分：int(f,v,a,b)。函数f中队符号变量v求定积分，a和b分别是积分的上下限。int(f,v)。对变量v求不定积分。（exno19t）（e19t）symsxf=sym('x/(cos(x))^2')y1=diff(f)y2=int(f,0,1)4.梯度函数fradient(4)如果F是一维矩阵，则FX=grdient(F,H)返回F的一维数值梯度。H是F中相邻两点间的间距。(5)如果F是二维矩阵，返回F的二维梯度数值。[fx,fy]=gradient(f,hx,hy)。hx，hy参数表示各方向相邻两点间的距离。(6)如果f是三维矩阵，返回f的三维数值梯度。[fx,fy,fz]=gradient(f,hx,hy,hz)。hx,hy,hz参数表示各方向相邻两点的距离。(exno18tt)(e18tt)x=[123;631;312][ex,ey]=gradient(x,0.5,0.2)练习4-2平面上温度的分布为：T(x,y)=xe-x2-y2用灰度图反映（3）平面上温度的分布。（4）平面上温度梯度的分布。（exno20t）（exno14）需要掌握：（1）两个自变量矩阵x，y的构造（2）函数梯度的求解方法。（e20t）xx=-2:0.05:2;yy=-2:0.05:2;[x,y]=meshgrid(xx,yy);%将单变量构造网格矩阵%x和y都是a*b（a是y的列数）x每行都相等，列变化与xx相同。%y是每列都相等，行变化与yy的转置一样t=x.*exp(-x.^2-y.^2);%平面上的温度分布[px,py]=gradient(t,0.05,0.05);%平面上的温度梯度（两个方向）td=sqrt(px.^2+py.^2);%平米昂上的温度梯度的大小subplot(221)%imagesc(t)%作平面上的温度的分布图subplot(222)imagesc(td)%colormap('gray')%颜色矩阵5.符号代数方程（组）的求解solve（4）定义符号变量。（5）定义符号方程（组）（6）求解方程（组）格式一变量输出方式：[x1,x2,...xn]=solve(eq1,eq2,...e1n,x1,x2,...xn)格式二结构输出方式V=solve(eq1,eq2,...eq3,x1,x3,...xn)eq1....是符号方程x1....是求解未知数练习4-3求解方程组21212200xxxx注意：结构输出方式的现实为v.x1或v.x2V为结构输出的变量名（exno21t