Kalman滤波器仿真研究

Kalman滤波器仿真研究-1-Kalman滤波器仿真研究[摘要]为了进一步研究kalman滤波器的滤波性能，本文对于kalman滤波在雷达数据处理中的应用进行了仿真研究。假定雷达每隔时间T获得目标的位置数据，利用CV模型，滤波器对观测数据进行处理，估计当前目标的状态参数，并对目标未来的状态进行预测。通过实验结果表明，初值选取和系统参数对滤波器收敛速度和稳态精度的影响，以及系统模型和系统参数对机动目标跟踪性能的影响。[关键词]kalman滤波CV模型跟踪性能[Abstract]Forthefurtherresearchofkalmanfilter’sperformance,thispaperdoesthesimulationresearchfortheapplicationofkalmanfiltertothefieldofradardataprocessing.AssumethattheradarobtainthepositiondataoftargeteveryTseconds,usingCVmodel,thefilterwilldealwiththeobservationdata,estimatingthecurrentstateparameteroftargetandpredictingthefuturestate.Theresultswhichshowtheeffectofinitialdataandsystemparametertothefilter’sconvergencevelocityandprecisionofthesteadystateandtheeffectofsystemmodelandsystemparametertotheperformanceoftrackingofmaneuveringtargetsareobtained.[Keywords]kalmanfilter,CVmodel,trackingperformance.0引言对于线性无偏最小均方误差的估计问题有两种滤波器：维纳滤波器和kalman滤波器。维纳滤波是根据最小均方准则导出的线性滤波器应满足的W—H，通过解W—H即得到了最优线性滤波器的冲激响应，滤波器的输出为消息的最优线性估计，其线性估计体现在冲激响应为线性的。Kalman滤波方法是R.E.Kalman等人于60年代初提出来的，它的估计性能是线性最优的，而递推形式又能适应实时处理的需要，因此得到了广泛的应用。Kalman滤波器与维纳滤波器的不同点在于：不由协方差函数描述系统，而由白噪声策动的产生该过程的线性模型来表示。不去寻找最佳滤波器的冲激响应，而是去寻找一套算法直接得到消息的估计——即使不能解析地求解微分方程，也总能容易的用计算机求解。不用时变的冲激响应描述产生消息的线性系统，而是用微分方程来描述，方程的解即为消息。Kalman滤波器仿真研究-2-1基本原理Kalman滤波分为连续和离散kalman滤波，本文主要研究离散kalman滤波器。1.1离散kalman滤波原理为了描述系统状态，首先要建立消息模型：kkkkkGuxx1其中n维矢量kx为消息，ku为r维策动噪声矢量。k为nn维转移矩阵或系统矩阵，kG为rn维矩阵。接着对系统状态进行估计时需要建立测量模型：kkkkHwxz——线性观测其中kz为m维观测矢量，kw为m维观测噪声。在开始进行kalman滤波前需要已知的先验信息：kkEuu，kjkjkQCovuu,——白噪声kkEww，kjkjkRCovuw,——白噪声0,kkCovwu初值00xxE，00PVarx0,0kCovux，0,0kCovwx限定滤波器为线性的：kkkkdZFxˆ根据最优准则—最小均方误差准则，即求使kkTkkkEJxxxxˆˆ在k时刻最小的系统状态（消息）xk的线性无偏、最小均方差递推滤波估计算法。多次利用矩阵求逆引理，可推导出kalman滤波的递推形式：预测方程：1111|ˆˆkkkkkkGuxx预测方差：TkkkTkkkkkGQGPP1111111|滤波方差：1111|)(kkTkkkkHRHPP滤波增益：11|1|)(kTkkkkTkkkkRHPHHPK滤波方程：)ˆ(ˆˆ1|1|kkkkkkkkkwHKxzxx1.2CV模型Kalman滤波器仿真研究-3-TTTTTTGk002000002000002222100000100000010000010000001000001TTTk22334233423341200002400000020000240000002000024uTTTTTTTTTTTTGQGQ222zyzxzyzyxyxzxyxRCV模型即常速度模型，假设目标是以常速度运动，坐标x对时间t的二阶导数为0，而实际中把目标的加速度作为随机噪声处理。则消息的状态空间模型：kkkkkGuxx1测量模型：kkkkHwxz中的各个矩阵取值：kkkkkkkzzyyxxXzyxkzzzZ010000000100000001kH其中kukw,分别为策动噪声和观测噪声，均值都为0，且互不相关。可见，此时消息状态模型和测量模型系数都不随时间变化，即状态和测量模型固定。对于策动噪声协方差矩阵，考虑：在实际的雷达数据处理过程中，观测数据是在方向余弦坐标系下得到的，而目标的状态方程是直角坐标系描述，因此观测噪声方差矩阵需要进行坐标系的转换：Kalman滤波器仿真研究-4-TkvzkzTkvykyTkvxkxzTyTxT000kRkykkRkxkkzkykxkRTTTTTTTTTT//2222222222222222222222222222222221////RRRRRRzRyzRyRxzRxyRx2仿真实验2.1建立仿真环境（1）产生目标航迹*匀速直线飞行目标*匀加速直线飞行目标*匀速圆周运动（2）产生观测噪声观测分别为,,R，其观测噪声分别为互相独立的零均值高斯白噪声kwkwkwR,,，观测噪声方差为：1.0,100mR（3）产生观测*方向余弦坐标系下的目标航迹*雷达观测值Kalman滤波器仿真研究-5-()()()()()()()()()kvkkkvkkkvkRkRTTRRTββ0αα00σββσαασ+=+=+=其中vvvR,,分别为互相独立的零均值，标准差为1的高斯白噪声。2.2坐标系观测：方向余弦坐标系滤波：直角坐标系输出：方向余弦坐标系坐标转换公式：221kRkzkRkykRkxkRkykkRkxkkzkykxkR//2222.3实验结果及分析目标航迹1：匀速直线运动目标航迹2：匀速直线运动+匀速圆周运动+匀速直线运动实验一：初值选取对收敛速度的影响目标航迹1，采样点数N=100，采样间隔T=0.1s，策动噪声方差gu1.0（1）初值0,0ˆpx按无偏估计取值，图1-1；（2）初值Ipx0,00ˆ，图1-2。图1-1图1-2对于无偏估计，滤波方程的起始条件应选为：00;00ˆxppxExEKalman滤波器仿真研究-6-根据目标的初始状态，可以建立滤波器的起始估计。但在实际中，我们是无法得到目标的初始状态的，这时就可以利用前两个观测值建立起始估计。如果初始值随便取，不考虑它的无偏性，则滤波器的收敛速度就会较慢。实验二：系统参数T对收敛速度和稳态精度的影响目标航迹1，初值按无偏估计取值，策动噪声方差gu1.0（1）采样点数N=100，采样间隔T=0.1s，图2-1;（2）采样点数N=100，采样间隔T=1s，图2-2；（3）采样点数N=100，采样间隔T=5s，图2-3；（4）采样点数N=100，采样间隔T=10s，图2-4。图2-1图2-2图2-3图2-4实验三：系统参数u对收敛速度和稳态精度的影响Kalman滤波器仿真研究-7-目标航迹1，初值按无偏估计取值，采样间隔T=0.1s（1）采样点数N=100，策动噪声方差gu01.0，图3-1；（2）采样点数N=100，策动噪声方差gu1，图3-2；（3）采样点数N=100，策动噪声方差gu5，图3-3；（4）采样点数N=100，策动噪声方差gu10，图3-4。图3-1图3-2图3-3图3-4由策动噪声协方差矩阵可知Q正比于系统参数uT,，又从kalman滤波中的增益方程可知，滤波增益K正比于1RQ，因而滤波增益k也正比于系统参数。观察kalman滤波方程1/1/ˆˆˆkkkkkkkkxHzKxx可知，滤波增益K越大，最新观测z在滤波值中的作用就越大，当IHKkk时，滤波值x将完全依赖于最新的观测值，则滤波失效。反之，K的值越小，观测z在滤波值中的作用就越小，当K=0时，则新的观测已经不起作用，这时滤波值只是根据以前的观测数据按照动态模型递推得到，不再用新的观测值来修正滤波值，同样会造成滤波器的发散。可见，增益K的值不能太大也不能Kalman滤波器仿真研究-8-太小，否则都会引起滤波器发散，通过推导可知K的取值范围在0和1之间。当选取适当的系统参数使增益K在滤波器正常工作的范围之内时，若系统参数取值越小，说明系统的策动噪声越小，等效于测量噪声加大，这时滤波增益K就要减小，使观测z在滤波值中的作用降低，即滤波值更多的依赖于预测值，则滤波和预测误差瞬态过程收敛速度越慢，但稳态精度越高。反之，系统参数取值越大，说明系统的策动噪声越大，等效于测量噪声减小，滤波增益增大，以加大观测z对滤波值的修正作用，即滤波值更多的依赖于观测值，使得滤波和预测误差瞬态过程收敛速度变快，但稳态精度降低。当系统参数取得足够大，使得增益K趋于1时，则滤波失效且滤波精度主要由测量误差方差所决定（图2-4）。实验四：系统参数T对机动目标跟踪性能的影响目标航迹2，初值按无偏估计取值，采样点数N=600，策动噪声方差gu1.0（1）采样间隔T=0.1s，图4-1；（2）采样间隔T=1s，图4-2。图4-1图4-2实验五：系统参数u对机动目标跟踪性能的影响目标航迹2，初值按无偏估计取值，采样点数N=600，采样间隔T=0.1s（1）策动噪声方差gu1，图5-1；（2）策动噪声方差gu10，图5-2。Kalman滤波器仿真研究-9-图5-1图5-2在目标跟踪过程中，我们事先是不可能了解目标的真实轨迹的，其运动轨迹可能会非常复杂，因此在设定的数学模型下进行滤波时，就会带来不精确性，从而引起滤波器发散。可见，在前150点目标做匀速直线运动，与CV模型匹配，则滤波器收敛得较好；从150点到200点目标做圆周运动，使得模型不准，则滤波失效，滤波器发散；最后目标又做匀速直线运动，滤波器重新又收敛，得到目标点迹的最佳估计。还可以发现，采样间隔T越小，目标机动部分的滤波误差越小，即跟踪性能越好；而策动噪声方差u越大，目标机动部分的滤波误差越小，即跟踪性能越好。实验六：实际滤波误差与理论滤波误差的比较目标航迹2，初值按